みなさん、こんにちは！受験ドクター算数科のA.K講師です。

 

今回は、「場合の数」の分野でよく問われる、カード並べの問題における倍数の見分け方に

ついて話をしたいと思います。

 

「１，２，３，４，５のカードがそれぞれ１枚ずつあります。この中から３枚を並べて、３ケタの数を

作る時に３の倍数は何個できますか？」

こういった問題を解くときに、３の倍数を全て探し出して書くのは骨が折れますし、何より

数え漏れが確実に起こります。

ですので、数え漏れを少しでも防ぐための手段として、どんなカードを使った時にどんな倍数が

作れるのか、という点に着目をして以下のような場合分けをしていくわけです。

 

２の倍数…１の位が０，２，４，６，８のいずれか

３の倍数…それぞれの桁の数の和が３の倍数

４の倍数…下２桁が００，０４，０８か４の倍数

５の倍数…１の位が０，５のいずれか

６の倍数…２の倍数かつ３の倍数

８の倍数…１００の位が１，３，５，７，９で、下２桁が８の倍数でない４の倍数　か

１００の位が２，４，６，８で、下２桁が８の倍数か００

９の倍数…それぞれの桁の数の和が９の倍数

 

上記に挙げたものの中で、８の倍数以外はよく問題として利用されることが多いので、

必ず知識として頭に入れておく必要があります。

ただ、なんでそうなるのか？を知らない人は多いでしょう。

今回は、その理由をそれぞれの倍数について紹介していきたいと思います。

 

まず、２の倍数と５の倍数について。

これは簡単ですね。２の倍数は順に並べると２，４，６，８，１０，１２，１４，１６，１８，２０…と

なりますから、１の位が必ず０，２，４，６，８のいずれかになります。

５の倍数は順に並べると５，１０，１５，２０，２５，３０…となりますから、

１の位が必ず０，５のいずれかになります。

これは２が１０の約数であることから、２の倍数である２に１０を足した１２、

また１２に１０を足した２２…も２の倍数となるからです。

（これは０，４，６，８においても同様ですし、５の倍数についても同じことが言えることが分かりますね）

 

続いて３の倍数と９の倍数について。

作る数を仮にＡＢＣ（３桁）としましょう。ＡＢＣは、Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｃ×１となります。

（例を挙げると、２２７＝２×１００＋２×１０＋７×１）

少し数学的な話になってしまいますが、式の変形を考えます。

Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｃ×１＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）×１＋（Ａ＋Ｂ）×９＋Ａ×９０＝３の倍数　となります。

（この変形が少し分かりづらい場合は、Ａが１００個、Ｂが１０個、Ｃが１個あるので、ＡとＢとＣの

ペアは１つ、ＡとＢのペアは９つ…と考えていくと良いでしょう）

 

（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）×１＋（Ａ＋Ｂ）×９＋Ａ×９０の中で９も９０も３の倍数ですから、Ａ＋ＢやＡがどんな

数であっても、（Ａ＋Ｂ）×９＋Ａ×９０は必ず３の倍数になります。（これは９の倍数でも同じです）

したがって、１が３の倍数でない以上は（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）×１が３の倍数にならなくてはいけないので、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３の倍数になる、つまりそれぞれの桁の数の和が３の倍数になるわけです。

なお、３桁以外の数については、皆さんの柔軟な頭でぜひ考えてみてくださいね！

 

６の倍数は６＝２×３ですので、３の倍数を先ほどお話しした見分け方を使って探したあと、２の

倍数を１の位に着目して探すようにしましょう。

 

最後に、４の倍数と８の倍数です。

例をとりましょう。２８も、１２８も、２２８もすべて４の倍数です。

２８は４の倍数ですから、それに１００（これも４の倍数）をたした１２８も４の倍数です。

さらに１００を足した２２８も４の倍数となりますよね？

先ほどの２の倍数や５の倍数と同じ考え方で説明できるわけです。

したがって、下２桁が４の倍数であれば（００，０４，０８含む）、その数は４の倍数になります。

 

８の倍数については少し条件が複雑です。同じように例をとっていきます。

順に並べると、

０,８，１６，２４，３２，４０，４８，５６，６４，７２，８０，８８，９６，

１０４，１１２，１２０，１２８，１３６，１４４，１５２，１６０，１６８，１７６，１８４，１９２，

２００，２０８，２１６，２２４，２３２，２４０，２４８，２５６，２６４，２７２，２８０，２８８，２９６，

３０４，３１２，３２０，３２８，３３６，３４４，３５２，３６０，３６８，３７６，３８４，３９２…きりがないのでこの辺で止めておきます（汗）

赤字の数を下２桁の数に着目して見てみましょう。8の倍数の繰り返しになっています。

そして縦に見比べると、数字が２００増えていることがわかります。

例えば８の下の段はは２０８となり２００差があります。

これは、８自体が８の倍数なので、同じく８の倍数である２００を足した２０８もまた８の倍数になっているんです。

青字の数も見てみましょう。１０４に２００を足した３０４はきちんと８の倍数になっていますね！

以降は２００を１つの周期として決まった動きが繰り返されていきます。

 

まとめると、

・１００の位が２，４，６，８で下２桁が８の倍数になっているとき

・１００の位が１，３，５，７，９で下２桁が８の倍数でない４の倍数になっているとき

はその数が８の倍数になるということです。

 

今回の内容はいかがでしたか？普段自分が何気なく使っている知識でも、理由があるのと

ないのとでは全然違いますよね。

 

…ということで、本日のまとめ。

 

・２・３・４・５・６・９の倍数の見分け方は、必ず頭に入れておこう！

・その見分け方には「周期」の考え方が根底にある

 

次回は引き続き、算数のなぜなぜ？を解明していこうと思っていますので、乞うご期待。

今回はこの辺で失礼いたします。

それではまた、近いうちにお会いしましょう。