こんにちは。
受験Dr.算数科講師の千葉　誠と申します。

各塾で新学年でのカリキュラムがはじまり1週間が経ちました。
新学年では学習量も増え、内容も難しくなっていきますが、志望校合格へ向けて頑張っていきましょう。

さて、今回は各学年の前期に学習することの多い「数の性質」の単元から、
「倍数・約数の問題」について触れさせていただきます。

「数の性質」では言葉の意味を正確に理解することが重要です。
まずは「倍数・約数の問題」に関する言葉を確認しておきましょう。

 

「倍数」・・・「Aの倍数」とは、Aを整数倍した数
例：「２の倍数」→２の整数倍→２×１＝２，２×２＝４，２×３＝６，・・・
「３の倍数」→３の整数倍→３×１＝３，３×２＝６，３×３＝９，・・・

「公倍数」・・・２つ以上の整数の共通の倍数
例：「２と３の公倍数」→２と３の共通の倍数（２の倍数でもある３の倍数）→６，１２，１８，・・・

「最小公倍数」・・・最小の公倍数
例：「２と３の最小公倍数」→２と３の公倍数で最小の数→６

「約数」・・・「Aの約数」とはAを割り切れる整数
例：「１２の約数」→１２を割り切れる整数→１，２，３，４，６，１２
「１８の約数」→１８を割り切れる整数→１，２，３，６，９，１８

「公約数」・・・２つ以上の整数の共通の約数
例：「１２と１８の公約数」→１２と１８の共通の約数→１，２，３，６

「最大公約数」・・・最大の公約数
例：「１２と１８の最大公約数」→１２と１８の公約数で最大の数→６

次に、押さえておくべき性質をいくつか紹介します。

・「AはBの倍数⇔BはAの約数」
例：１８は６の倍数⇔６は１８の約数

・「Aの倍数同士の和と差もAの倍数になる」
例：２１と５６はどちらも７の倍数
２１＋５６＝７７・・・７の倍数
５６－２１＝３５・・・７の倍数

・「公倍数は最小公倍数の倍数」
例：２と３の公倍数６，１２，１８，・・・は、２と３の最小公倍数である６の倍数

・「公約数は最大公約数の約数」
例：１２と１８の公約数１，２，３，６は、１２と１８の最大公約数６の約数

 

これらの性質は、言われれば当たり前に感じる人も多いと思います。
しかし、応用レベルの問題を解くにあたっては、これらの性質を自然に連想できる状態にする必要があります。

実際にこれらの性質を利用して問題を解いてみましょう

 

問題

アメが９２個、チョコが１２８個、ガムが２１８個あります。
何人かの子供にアメ、チョコ、ガムを平等にできるだけ多く配ったところ、
アメ、チョコ、ガムが同じ個数ずつ余りました。
子供の人数として考えられる数をすべて求めなさい。

 

解説

子供の人数を㋐人、余った個数を㋑個とします。
それぞれの個数から余った個数を引いたものは配った個数になります。

平等に配っているので配った個数は㋐の倍数となります。
よって９２－㋑、１２８－㋑、２１８－㋑はそれぞれ㋐の倍数。

ここで「Aの倍数同士の差もAの倍数」を使います。
９２－㋑と１２８－㋑の差は１２８－９２＝３６・・・㋐の倍数
１２８－㋑と２１８－㋑の差は２１８－１２８＝９０・・・㋐の倍数

「AはBの倍数⇔BはAの約数」を使うと、
３６は㋐の倍数⇔㋐は３６の約数
９０は㋐の倍数⇔㋐は９０の約数
つまり㋐は３６と９０の公約数となります。

「公約数は最大公約数の約数」を使うために最大公約数を求めると、
３６と９０の最大公約数は１８
よって㋐は１８の約数１，２，３，６，９，１８が考えられます。

しかし㋐＝１，２の場合は、余りが出ないため問題文に反します。
よって㋐＝３，６，９，１８

 

いかがでしたでしょうか。
もう一度手順を振り返ってみましょう。

 

同じ個数ずつ余るので、はじめの個数の差が配った個数の差となります。
配った個数は子どもの人数㋐の倍数となることから、
まず、「Aの倍数同士の差もAの倍数」を使って、
３６、９０は㋐の倍数とわかりました。
次に、「AはBの倍数⇔BはAの約数」を使って、
㋐は３６、９０の公約数とわかりました。
最後に、「公約数は最大公約数の約数」を使って、
㋐として考えられる数を求め、問題文に反するものを除けば完了です。

 

このように、次々と性質を利用することで解答までたどりつくことができました。

「数の性質」では、問題ごとの解法を覚えるだけでなく、こういった様々な性質を理解し、自然に使えるよう慣れ親しんでいくことが効率的な学習のカギとなります。

ぜひ皆さんの日々の学習の参考にしていただければと思います。

それでは、失礼いたします。