みなさん、こんにちは。

受験ドクター算数科の江田です。

 

 

2019年10月21日のブログ

「支払うことのできる金額？②」

の中で、

「約数の個数を計算で求める方法」

について触れました。

今回のブログでは

その応用問題について触れたいと思います。

塾に通う5年生以上であればすでに習ったお子様も多いはずですが、

難易度が高めなので、なかなか定着させることが難しいものだと感じています。

 

「約数の個数を計算で求める方法」

について、よくわからない・知らないという方は

過去（2019年10月21日）の私のブログ

「支払うことのできる金額？②」

に目を通していただいてからの方が良いですよ。

 

ではいってみましょう！

 

【問】

１から50までの中で約数を3個持つ整数をすべて答えなさい。

 

 

 

（考え中…）

 

 

 

（考え中……）

 

 

 

さて、いかがですか。

 

もちろん、

１から50までのすべての整数について

それぞれ約数を何個持っているのか調べるわけではありません。

 

たとえば24の約数は何個あるのかを考えるとき、

24＝2×2×2×3

　　　3個　 1個

と素因数分解でき、

「×2」が3個、「×3」が1個

あるので、24の約数は

（3＋1）×（1＋1）＝8（個）

と求められましたね。

 

 

今回の問題では

「約数を3個持つ整数を素因数分解したら、どのようなかたちで表されるのか」

を考えればよいわけです。

 

 

ここで、約数を3個持つ整数をＮとしてみます。

このＮを素因数分解したときに

Ｎ＝Ａ×Ａ　（←2つのＡは“同じ数”であることを意味しています。）

というかたちで表されるとき、

「×Ａ」が2個あるので、このＮの約数は

2＋1＝3（個）

と決まりますね。

 

これ以外に「約数が3個」となる素因数分解のかたちはありませんので、

Ｎ＝Ａ×Ａ

のかたちにあてはまるようなＮだけ答えればよいのです。

 

ここで忘れていけないのは、

「Ａにあてはまるのは素数」

であることです。

そりゃそうですよね♪

「素因数分解したかたち」なのですから、

1つ1つの数は素数しかありえません。

 

ということで、

Ａにあてはまる数（素数）は小さい方から

2，3，5，7，11，13,……

と続いていきますが、

Ｎは1から50までの数なので

2×2＝4　◯

3×3＝9　◯

5×5＝25　◯

7×7＝49　◯

11×11＝121　✕（←50をこえるので不適）

というように調べていくと、

今回の問題では

4，9，25，49

の４つがふさわしいということになります。

 

このように

「約数を◯個もつ整数」

を考えなければならないときは、

「素因数分解したら、どのようなかたちで表されるのか」

を考えていくことがポイントになります。

 

次回、より応用レベルの問題を扱ってみたいと考えております。

 

それでは今回はここまで。

またお会いしましょう！