みなさん、こんにちは。
受験ドクター算数科の江田です。
前回のブログで
「約数の個数」
の応用問題について触れました。
今回のブログでは
前回と同じタイプだけどさらに難易度の高い問題
に触れていきましょう。
ではいきます！
１から50までの中で約数を8個持つ整数をすべて答えなさい。
（考え中）
（考え中）
もちろん、
1から50までの数字の約数が何個あるのか、
すべて調べるのはダメですよ。
前回と同じように
「約数を8個持つ整数は、素因数分解したら、どのようなかたちで表されるのか」
を考えていきましょう！
ただ、今回の場合は
「素因数分解したときのかたち」
が何パターンかありますよ。
全パターン思い浮かびますか？
では説明していきます。
約数を8個持つ整数をＮとしてみます。
おそらく真っ先に思いつくパターンからいきましょうか。
それは、
このＮを素因数分解したときに
“素数が1種類しかない”場合の
というかたちで表されるときです。
「×Ａ」が7個あるので、このＮの約数は
7＋1＝8（個）
と決まります。
では、別のかたちも考えてみましょう。
それは…
“素数が2種類ある”場合の
というかたちです。
「×Ａ」が3個と「×Ｂ」が1個あるので、
この場合も約数が
(3＋1)×(1＋1)＝8（個）
となりますよね。
実はこれ以外にもあるのですが気づきますか？
もしかしたら、ここまでは思いついた方も多かったかも知れません。
ただもう1つ、
“素数が3種類ある”場合の
というかたちもあるんですね～。
「×Ａ」が1個、「×Ｂ」が1個、「×Ｃ」が1個あるので、
この場合も約数が
(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8（個）
となります。
このパターンが最初から見つけられている方は立派です！
ということで、まとめてみましょう。
あとはそれぞれの場合に、
実際のＮの数値を考えていきましょう！
➀の場合
（もちろんＡは素数であることに注意して）
小さい順に
Ｎ＝2×2×2×2×2×2×2＝128
Ｎ＝3×3×3×3×3×3×3＝2187
Ｎ＝5×5×5×5×5×5×5＝とんでもない数
となっていきます。
今回の問題ではＮは1から50までの整数ですから、
この場合にあてはまる数はないんですね。
次に②の場合のＮを考えていきましょう。
これは“小さい順”に書き出していくことが難しいかも知れません。
まずはＡを最も小さい場合の2に固定して
Ｂを小さい順に書き出してみましょうか。
すると、
Ｎ＝2×2×2×3＝24 ◯
Ｎ＝2×2×2×5＝40 ◯
Ｎ＝2×2×2×7＝56 ×（50をこえたので不適）
となります。
次は、Ａを2の次に小さい場合である3に固定すると
Ｎ＝3×3×3×2＝54 ×（50をこえたので不適）
のように1つ目から不適ということになるので、
これ以上調べる必要がありません。
最後に③の場合のＮを考えます。
まずはＡを最小の2、Ｂを2以外で最小の3に固定してみましょうか。
すると、小さい順に
Ｎ＝2×3×5＝30 ◯
Ｎ＝2×3×7＝42 ◯
Ｎ＝2×3×11＝66 ×（50をこえたので不適）
となります。
次にＡは最小の2のまま、Ｂを2，3の次に小さい5として考えると…
Ｎ＝2×5×7＝70 ×（50をこえたので不適）
とわかり、
1つ目から不適なのでやはりこれ以上調べる必要はありません。
ということで、この問題の答えは
24，30，40，42
の4つとなります。
いかがでしたか。
この問題は非常に難しい問題だったかと思います。
前回もお伝えしたように、
「約数を◯個もつ整数」
を考えなければならないときは、
「素因数分解したら、どのようなかたちで表されるのか」
を丁寧に考えていくことが大切であり、
さらには、それぞれのかたち（パターン）において
いかにして“抜けのないように調べるか”も大切なポイントですね。
今回お話したように、
“小さい順” とか “◯◯を固定して…”
といった自分なりの工夫・ルールを作り、
それに従って丁寧に書き出していくクセをつけていきましょうね。
それでは今回はここまで。
またお会いしましょう！
