突然ですが、ハッピー数ってご存知ですか？

あまり耳にしたことのない言葉ですね。中学受験でも問われることがあるので知っておくとちょっと得する知識です。

ハッピー数について知っていただいてご家庭で「ハッピー数って知ってる？」というような会話をしてみてくださいね。

 

まずはハッピー数の説明です。

 

ハッピー数（ハッピーすう、happy number）とは、自然数の各桁を1桁に分解して二乗和を取り、新しくできた数についても同じ処理を繰り返し行って、最終的に1となる数を指す。

「ハッピー数」『フリー百科事典　ウィキペディア日本語版』より。

 

少し具体的な例を出して説明してみましょう。

それでは４がハッピー数かどうか調べてみましょう。

 

各桁を２回かけて（二乗して）その答えをそれぞれ合計します。この操作を繰り返します。

４⇒４×４＝１６

１６⇒１×１＋６×６＝３７

３７⇒３×３＋７×７＝５８

５８⇒５×５＋８×８＝８９

８９⇒８×８＋９×９＝１４５

１４５⇒１×１＋４×４＋５×５＝４２

４２⇒４×４＋２×２＝２０

２０⇒２×２＋０×０＝４

 

あれ？また４にもどりましたね。

このまま続けても繰り返しになるので４は１になることはありません。

つまり、「４はハッピー数ではない」ということが言えます。

 

では、２３だとどうでしょうか。

２３⇒２×２＋３×３＝１３

１３⇒１×１＋３×３＝１０

１０⇒１×１＋０×０＝１

 

１になりましたね！

１になったので「２３はハッピー数である」と言えます。

 

さて、これがどのように中学受験で出題されるのかちょっと見てみましょう。

甲陽学院中学校で１日目の大問２として今年出題された問題です。

 

「整数の各位の数をそれぞれ自分自身とかけ合わせて、すべてを足す」という操作を繰り返し行います。

例えば、24からはじめてこの操作を3回繰り返すと、24　→　2×2＋4×4＝20　→　2×2＋0×0＝4

→　4×4＝16のように、16になります。

（1）　7からはじめてこの操作を10回繰り返すと何になりますか。

（2）　4から始めてこの操作を20回繰り返すと何になりますか。

（3）　2016からはじめてこの操作を2016回繰り返すと何になりますか。

（2016年度　甲陽学院中学校1日目）

 

ハッピー数という名前は出てきていませんがハッピー数が題材になっていますね。

ぜひお子様と一緒に解いてみてください。甲陽学院中学校といえどもこの問題はそこまで難しくはありません。4年生以上のお子様なら是非チャレンジしてみてください。解答・解説は下に載せておきますね。

 

ちなみに、2019はハッピー数です。

2019→86→100→１となります。

ということは、

2019年に入試を迎える現小４の皆さまは他の学年以上に知っておくといいことがあるかもしれませんね♪

 

では、解答・解説です。

（1）

7→49→97→130→10→１→１・・・

7はハッピー数ですね！　ということは10回繰り返しても1のままですね。　　答え　1

 

（2）

4→16→37→58→89→145→42→20→4・・・

ここでの注意点は１回目の作業で16になるという点です。

4を1回目としてしまう生徒が多いので注意しましょう。4を１回目としたときの誤答は58です。

58と答えた人は要注意！！

上の赤字の部分（8回1セット）が繰り返しになるので

20÷8＝2セットあまり4回

よって、89になります。　　　答え　89

 

（3）

2016→41→17→50→25→29→85→89→145→42→20→4→16→37→58→89・・・

青字の部分が繰り返しにはなっていないところ（６回分）

赤字の部分が繰り返しになるところ（８回1セット）

(2016－6)÷8＝251セットあまり2回

よって、145になります。　　　　答え　145

 

正解できましたか？

次回も知っておくとちょっと役立つ内容を予定しています。

お楽しみに！