みなさん、こんにちは。受験Dr.の亀井章三です。

　今回は、「素数」についてです。

1 素数と素数の見つけ方

素数とは、１とその数自身でしか割り切れない、つまり約数を2個しか持たない
自然数のことで、小さい順に書き出すと
2、3、5、７、11、13、17、19、23、29・・・・・・　と続きます。
この素数には規則性がなく無限に存在することがわかっています。
では現在発見されている最大の素数はいくつでしょう？
2024年10月に発見された最大の素数は、約4102万桁の数だそうです。
大きすぎて想像することも難しいです。この発見は6年振りのことで、前回発見
された素数よりも1600万桁以上多い数になります。

　いったいどうやって最大の素数を発見したのか？それは、今まで発見された素数
で割り切れない（商が整数にならない）かどうか計算していくという方法です。
たとえば、2027が素数かどうか調べてみます。
まず、2回かけて2027になる数の近似値を求めます。45×45＝2025なので、
2～45の中にある素数で割り切れるかどうか調べます。
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43　のどれで割っても割り切れません。つまり、2027は素数であることがわかりました。
2027だったら一つずつ計算しても大変ではありませんが、最大の素数になると人間
の力では不可能です。発見した団体は世界中の高性能コンピューターを数千台
ネットワークでつないで作業して発見することが出来たそうです。

　そんな素数ですが、規則はなくてもいくつかの面白い特徴がありますので、紹介
したいと思います。

2 メルセンヌ素数

　2を複数回かけた積のことを「2の累乗数」といいます。素数のいくつかは、
「2の累乗数－１」で表されます。
　３＝2×2－1
　7＝2×2×2－1
　31＝2の5乗（2を5回かけた数）－1
　127＝2の7乗－1　　　　　　　　　　　　　　　などです。
今回発見された最大の素数も「2の1億3627万9841乗－1」という数です。
このような形の素数を、考案したフランスの学者の名前から「メルセンヌ素数」と
呼びます。メルセンヌ素数は素数かどうか確認する方法が定まっているため、最大の
素数を探す時によく使われます。

3 双子素数

　2を除けば残りの素数は全て奇数になります。そんな奇数の素数の中で、「連続
する2つの奇数がともに素数である」という組み合わせが存在します。その組み合
わせのことを「双子素数」と呼びます。
　では、3から99までの奇数の中で「双子素数」は何組あるでしょうか？
正解は（3、5）（5、7）（11、13）（17、19）（29、31）（41、43）（59、61）（71、73）
の8組になります。なお、先ほど2027が素数かどうか判定しましたが、2027の次の
奇数である2029も素数なので、2027と2029も双子素数になります。
　双子素数そのものを題材にした入試問題は滅多に出題されませんが、数の性質
の難問を出す男子校（開成・麻布・駒東・灘など）は出題される可能性が十分あり
ますので、知識として頭の片隅に入れて置くとよいでしょう。
　奇数の素数の1の位は1か3か7か9なので、双子素数の1の位は
（～1、～3）（～7、～9）（～9、～1）の3パターンしか存在しないことも押さえておき
ましょう。

4 素な素数

　最後に紹介するの「素な素数」という数です。
これはある素数に対し、右端（一の位）から1つずつ数を落としていった時、現れる
数が全て素数になっている数の事です。
　たとえば、7331という数は、7331も733も73も7も全て素数です。
メルセンヌ素数や双子素数に比べると簡単に見つかりそうな感じがしますが、丁寧に
樹形図を描いていく必要があります。
1桁の素数は2、3、5、7の4つ。この右側に1、3、7、9をつけて素数かどうか調べ
ます。すると2桁では、23、29、31、37、53、59、71、73、79があります。
さらにこの2桁の数の右側に1、3、7、9をつけて調べると、
233、239、293、311、313、317、373、379、593、599、719、733、739、797があります。
53は1、3、7、9のどれを右側につけても素数ではない合成数になり、これ以上数を
増やすことができませんので、53は「素な素数」ということになります。
この素な素数は有限であることが分かっており、最大の数は73939133になります。

　これは中学入試でも使えそうな数だと思われます。右側ではなく左側から落としていく、2個ずつ落としていくなど様々なパターンが考えられます。

　今回は素朴だけど不思議な「素数」についてお話しいたしました。
2024年もあとわずか、来年も「素」敵な一年になると良いですね。
そこで最後に問題を出したいと思います。

　問題　1月1日から12月31日まで366日（2月29日ふくむ）を、
　1月1日＝101、10月7日＝1007、12月31日＝1231　のように3桁または
　４桁の整数としたとき、素数は何個含まれるでしょうか？

　本日はここまで。来年もよろしくお願いします。

問題の正解
101 103 107 109 113 127 131
211 223 227 229
307 311 313 317 331
401 409 419 421
503 509 521 523
601 607 613 617 619
701 709 719 727
809 811 821 823 827 829
907 911 919 929
1009 1013 1019 1021 1031
1103 1109 1117 1123 1129
1201 1213 1217 1223 1229 1231

　以上59個です。