みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

秋も段々深まってきました。芸術の秋、スポーツの秋、読書の秋、といろいろありますが、やはりお子様は「学問の秋」ではないでしょうか。
夜が長くなってきて、また暑すぎず寒すぎずちょうど良い気候のこの季節は、勉強に集中するにはうってつけです。

今回は、何回かこのブログでも取り上げた数列のお話。「いねぬこ数列」について解説してまいります。

いねぬこ数列って何？

等差数列、等比数列、階差数列、群数列、フィボナッチ数列…。数列にも
いろいろありますが、いねぬこ数列なんて聞いたことないですよね。

実際に数列で示すとこんな数列です。

１、４、３、７、５、１０、７、１３、９、１６、１１、１９、…

数が増えたり減ったり、なんかバラバラですよね。
となりあう数の差を取ってみると
「＋３」「-１」「＋４」「-２」「「＋５」「-３」…
なんかありそうだけど、うまく言いにくいですよね。

これが「いねぬこ数列」です。

いねぬことは、「いぬ」と「ねこ」を１文字ずつ分けて並べた言葉です。

い　　　　ぬ
　　　ね　　　　こ

そこで、先ほどの数列を１つずつ交互に色をつけてみましょう。

１、４、３、７、５、１０、７、１３、９、１６、１１、１９、…

赤字のほうは、１、３、５、７、９、１１…と、１から２ずつ増える等差数列に
黒字のほうは、４、７、１０、１３、１６、１９…と、４から３ずつ増える等差数列になって
います。

このように、等差や階差、フィボナッチとも異なる数列の場合は、「いねぬこ数列」
の可能性が大です。１つおきに印をつけてみましょう。

「いねぬこ数列」はあの難関校の入試でも出題！

そんな「いねぬこ数列」ですが、過去に筑波大付属駒場中学の入試問題でも
出題されています。問題を見てみましょう。

（筑波大付属駒場中学校　H１２　４）
辺ABが辺BCよりも長い長方形ABCDがあります。点Pは初め頂点Dの
位置にあり、次のような動き方をします。
長方形が図１のとき、まず①のように、中心がAで半径がADの円周上を動
いて、辺ABに移ります。次に②のように、中心がBで半径がBPの円周上を
動いて、辺BC上に移ります。次に③のように、中心がCで半径がCPの円
周上を動いて、辺CD上に移ります。以下同じようにPは円周上を動きなが
ら、となりの辺上に次々と移っていきます。なお円の中心は、初めはAで、P
がとなりの辺に移るたびにB、C、D、A、B、C、……の順にかわります。また、
Pがとなりの辺に移れなかったら動くのをやめることにします。
たとえばABが７㎝、BCが５㎝のとき、Pは図２のように５個の円周上を動い
て、最後に辺AB上に移り、そこで止まります。
次の問いに答えなさい。

（１）ABが15㎝、BCが11㎝のとき、Pはいくつかの円周上を動いて、
止まります。これらの円の半径を、Pが動いた順に、すべてかきなさい。

まずは実際に作業してみましょう。
操作①　　中心A　半径１１㎝
操作②　　中心B　半径　４㎝
操作③　　中心C　半径　７㎝
操作④　　中心D　半径　８㎝
操作⑤　　中心A　半径　３㎝
操作⑥　　中心B　半径１２㎝　はBCの長さ１１㎝より長いので×。
よって、答えは１１、４、７、８、３

この１１、４、７、８、３、１２が実は「いねぬこ数列」なんです。
色をつけてみましょう。
１１、４、７、８、３、１２

黒字も赤字も等差数列になっています。
これを利用すると次の問題も楽に解けます。

（２）ABが３７㎝、BCが３２㎝のとき、Pはいくつかの円周上を動いて、
止まります。Pが動いた最後の円の中心は、長方形のどの頂点ですか。

半径だけ書き出してみると
３２、５、２７、１０、……
となっています。
この赤字のほうの数列で、BCの長さ３２㎝をこえたときPは動けません。
したがって、赤字の７番目の３５㎝で×となります。
黒字と赤字は交互に並んでいますので、これは全体の１４番目の操作となります。
最後の円の中心は１３番目の操作になりますので、その中心はAと求められます。

「いねぬこ数列」を知っていれば、難関校の算数もへっちゃら！というわけですね。
ぜひおぼえておきましょう。

また次回も皆様に役立つ「受験算数のコツ」をお伝えいたします。お楽しみに！