みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

梅雨も明け、暑い暑い夏がやってきます。
私はジメジメした梅雨より、暑くてもカラッとした夏が好きです。ギラギラとした
太陽に照らされているほうがちょっと嬉しくなったりします。
とはいえ、熱中症には気をつけて細目に水分補給をしておきましょうね。

今日は、前回の続き。１から１００までかけた数の上級編です。
さっそく問題にいってみましょう。

問題　下のように１から１００までをかけた数をAとします。
１×２×３×４×５×……×９８×９９×１００＝A
このAについて次の問いに答えなさい。
（４）　Aを９で割り続けると、何回目で商が整数でなくなりますか。
（５）　Aを２４で割り続けると、何回目で商が整数でなくなりますか。

このタイプの問題のポイントは前々回にご説明しました、「割り算を分数に置き換える」
「割り切れる＝約分して分母が１になる」という２つでした。

そして、今回の（４）は、前々回の（１）「２で割り切れる回数」問題のアレンジ
だということが一番大切なところです。

２で割り切れる回数は、１から１００までの中に２の倍数がいくつあるか、さらに、
２×２＝４の倍数がいくつあるか、２×２×２＝８の倍数がいくつあるか、と考え
ていくことで求められました。

では同様に９で割り切れる回数も考えてみましょう。
注意しなければいけないのは、９は素数ではなく３×３だということです。
そこで、まず３で割り切れる回数を考えます。

１００÷３＝３３あまり１
３３÷３＝１１
１１÷３＝３あまり２
３÷３＝１

より、３３＋１１＋３＋１＝４８回、３で割り切れることがわかりました。

ここで、９＝３×３を使うことに気がつくと、答えまでもう少しです。
３×３＝９なので、３で２回割れる＝９で１回割れる、となります。
よって、３で４８回割り切れる＝９で２４回割り切れるとなるわけです。

今回も「はじめて割り切れなくなる回数」を聞かれていますので、
２４＋１＝２５回目が答えとなります。

６＝２×３のように、異なる素数の場合は、少ないほうに合わせるという
解き方でしたが、９＝３×３のように、同じ素数を複数回使う場合は、
その素数で割り切れる回数を「１回の割り算で使う個数」で割って求める
ということになります。

１×２×…×１００を割り続けるような問題は、同じように見えて、「何で
割り続けるか」によって、微妙に対応が変わってきますので、気をつけたい
ところですね。

それでは最後の総仕上げ（５）１２で割り切れる回数はいかがでしょう？
２４＝２×２×２×３、となりますので、（２）と（４）の融合になります。

では解説です。
まず２で割り切れる回数を求めます。
１００÷２＝５０
５０÷２＝２５
２５÷２＝１２あまり１
１２÷２＝６
６÷２＝３
３÷２＝１あまり１
５０＋２５＋１２＋６＋３＋１＝９７
よって２で９７回割り切ることができます。

次に３で割り切れる回数を求めます。
これは先ほどの（４）より、４８回でしたね。

ここで２４＝２×２×２×３、と２を３回使っていますので、
９７÷３＝３２あまり１　となり、２×２×２で３２回割り切れることになります。
したがって、この３２回と、３で割り切れる回数の４８回を比べ、少ないほう
の３２回が２×２×２×３で割り切れる回数となります。

答えはこれより１回多い、３３回目となります。

３回に分けてお送りしてきました「何回割り切れる？」問題。
解き方は決まっていますので、しっかり練習して、ライバルたちに差をつけ
ていきましょう。

それでは次回もお楽しみに。