受験算数のコツ！計算の本質と分配法則

みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

今回は計算問題を攻略するコツです。
「計算ミスが多い」「計算力が弱い」「計算力を伸ばしたい」
ということをよく聞いたり、自分自身も言ったりします。

そもそも「計算力」って何でしょう？

桁数の多い計算も暗算できる力？
早く楽に計算する力？

正解は人によって異なると思いますが、私は
計算に対して、適度な速度で絶対に間違えない力
こそが計算力だと考えています。

筆算をいっぱい書いて計算をしていても
その筆算ひとつひとつが、まずまずのスピードで正確であれば問題ありません。
筆算よりも暗算することで得をする時間はほんの数秒です。
だとしたら自分にとって自信があり、確実な方法を選択すれば良いでしょう。

既に分数計算をしてくれる計算アプリがありますし、暗算で計算力を鍛える
ということが時代に合わなくなるかもしれません。中学入試でも電卓使用可
となるかもしれません。

繰り返しますが、大切なのは間違えないことです。
どんな便利な道具でも、ルールを間違っていたり、入力が間違っていたりしては
誤った数値を弾き出します。

したがって、計算問題を攻略するには
① 四則計算の順序を正しく理解し、計算問題に手順を書く。
② 逆算の方法を理解する。□÷２＝３のような簡単な例をイメージして確認する。
③ 広めのスペースを確保し、式を整理する部分と筆算をする部分とに分けて作業する。
④ ２つや３つの数の『最小公倍数』『最大公約数』を思い出せるようにする。
⑤ よく使われる『小数と分数の変換』をおぼえる。

がまず挙げられます。これらは、いわば「機械に正しく数値を入力していくため」に
必要なことと言えるでしょう。

そして、同時に考えないといけないのは、道具に頼り切っていてはいけない
ということです。
自分のした暗算・筆算を過信していませんか？
電卓を使って計算していても、入力した数字が誤っていれば誤った数字が出て
きます。その誤りに気がつけないとダメです。

そこで、計算問題を攻略するポイントの続きとして、
⑥ 概数を使って、答えの数値に見当をつける。
⑦ 答えの一の位が正しい数になっているかチェックする。
⑧ 答えが３の倍数や９の倍数になるときに、各位の和を求めてチェックする。
⑨ やたらと大きな数が分母にあることに違和感を持つ。

が挙げられます。
「こんなことまで？」と思われるかもしれませんが、計算ミスしない人は
こんなことまでを「当たり前に習慣として」やっています。
計算ミス０％を目指すのであれば、これらのことを意識しながら、
1問1問丁寧に取り組む練習をしていきましょう。

さて、中学入試の計算問題において、時々お目にかかるのが
分配法則を用いた「計算の工夫」問題です。

分配法則は、交換法則・結合法則とともに初等代数学における計算法則
の一つです。

交換法則：
２＋３＝３＋２、２×３＝３×２　のように、加法と乗法では順番を交換しても答えが変わらない

結合法則：
（２＋３）＋５＝２＋（３＋５）、（２×３）×５＝２×（３×５）のように、加法と乗法では、結合の仕方＝かっこをつける場所を変えても答えが変わらない。

分配法則：
（２＋３）×５＝２×５＋３×５のように、かっこをはずした式に展開できる。
逆に考えると、２×５＋３×５＝（２＋３）×５のように、かっこにまとめることもできる

この中でも分配法則を用いた問題が出題されますが、そのパターンは決まっています。
パターンをイメージでおぼえることで、出題されたときに気づけるようになれば大丈夫
です。

① 基本型
同じ数字が入った掛け算の式を足したり、引いたりしている場合
同じ数字以外をかっこの中に入れてまとめることができます。
この場合、かっこの中の計算をすると、１０や１００のように、そのあとの掛け算
が楽になることが多いです。
例　２７×７９＋２７×２１
＝２７×（７９＋２１）
＝２７×１００
＝２７００

また、この掛け算の部分に交換法則が用いられていることも多いです。
例　１９×１５１－５１×１９
＝１９×１５１－１９×５１
＝１９×（１５１－５１）
＝１９×１００
＝１９００

② 桁違い型
同じ整数でも、小数点の位置を変えて使っているパターンです。
例　３１×０．２８＋３．１×７．２

この場合「３１」と「３．１」が似ていて怪しいことに気づくでしょう。
そこで、３１＝３．１×１０　として
３１×０．２８＋３．１×７．２
＝（３．１×１０）×０．２８＋３．１×７．２
＝３．１×（１０×０．２８）＋３．１×７．２　←結合法則を用いています。
＝３．１×２．８＋３．１×７．２
＝３．１×（２．８＋７．２）
＝３．１×１０
＝３１

結合法則の部分については、式を書かずに暗算で処理できるように練習
しましょう。

③ 倍数型
②の桁違い型と同じですが、こちらは小数点の移動ではなく、「２倍」「３倍」
などが入ってきます。
例　４１×９＋８２×１３＋１２３×５

この場合「４１」と「８２」と「１２３」に注目します。
８２＝４１×２、１２３＝４１×３、とすべて４１の倍数になっています。
そこで、８２＝４１×２、１２３＝４１×３　として
４１×９＋８２×１３＋１２３×５
＝４１×９＋（４１×２）×１３＋（４１×３）×５
＝４１×９＋４１×（２×１３）＋４１×（３×５）　←結合法則を用いています。
＝４１×９＋４１×２６＋４１×１５
＝４１×（９＋２６＋１５）
＝４１×５０
＝２０５０

④ ドミノ型
これは３つ以上の積が足し算・引き算でつながっていますが、一気にかっこに
くくれない時に使われているパターンです。
例　１９×１２＋１９×４３＋３１×５５

１９×１２と１９×４３はまとめられますが、３１×５５は共通する数も、公約数も
ないためくくれません。
そこで、まず分配法則が使える部分だけ使っていきます。

１９×１２＋１９×４３＋３１×５５
＝１９×（１２＋４３）＋３１×５５
＝１９×５５＋３１×５５

すると、１９×５５と３１×５５で５５が共通することになります。
これがドミノ型分配法則です。

この後は、
１９×５５＋３１×５５
＝（１９＋３１）×５５
＝５０×５５
＝２７５０
と求められます。

⑤ 割り算型
これはついつい間違えてしまうタイプの問題です。
例　３５÷２＋３５÷３

ついつい、３５÷（２＋３）＝３５÷５　とやってしまいそうです。
でも割る数を足してしまうと、答えはより小さくなってしまうためこれは間違いです。

この場合は、割り算を「分数の掛け算」に直してから、分配法則を使いましょう。

３５÷２＋３５÷３
＝３５×＋３５×
＝３５×（＋）
＝３５×
＝