みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。
まずは、こちらのツイートをご覧ください。
「河野大臣！！
最近コロナで暇すぎます！！
何か家でできる面白い遊びってないですか？
ちなみに今中3です！！」
これに答えたのが、河野太郎大臣。
「では、２通りの２つの立方数の和で表せる最小の数をさがしてごらん。」
つまり、Ａ×Ａ×Ａ＋Ｂ×Ｂ×Ｂ＝Ｃ×Ｃ×Ｃ＋Ｄ×Ｄ×Ｄ＝Ｎ
となる、異なるＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄがある、最小のＮを求めなさい、という問題です。
そこで、今回はこの河野大臣の挑戦を、小学生でも分かるようにヒントを加えて
みますので、ぜひ考えてみましょう！という内容です。
ヒント１ Ａ～Ｄは１から１２の中の数字です。
１×１×１＝１
２×２×２＝８
３×３×３＝２７
４×４×４＝６４
５×５×５＝１２５
６×６×６＝２１６
７×７×７＝３４３
８×８×８＝５１２
９×９×９＝７２９
１０×１０×１０＝１０００
１１×１１×１１＝１３３１
１２×１２×１２＝１７２８
もしかしたら見つかった人もいるかも？
Ｓｔｅｐ１ ９で割ったあまりを考える
立方数を９で割ったあまりで分類しましょう。
あまり１ １、６４、３４３、１０００
あまり８ ８、１２５、５１２、１３３１
あまり０ ２７、２１６、７２９、１７２８
あまりは１、８、０の３種類になります。２つの立方数の和が等しいということは
あまりの和も等しくなりますので、
①「あまり１」＋「あまり１」＝「あまり１」＋「あまり１」
②「あまり１」＋「あまり８」＝「あまり１」＋「あまり８」
③「あまり１」＋「あまり０」＝「あまり１」＋「あまり０」
④「あまり８」＋「あまり８」＝「あまり８」＋「あまり８」
⑤「あまり８」＋「あまり０」＝「あまり８」＋「あまり０」
⑥「あまり０」＋「あまり０」＝「あまり０」＋「あまり０」
⑦「あまり１」＋「あまり８」＝「あまり０」＋「あまり０」
の７通り考えられます。
このうち、①、④、⑥は、１＋１０００＝６４＋３４３、８＋１３３１＝１２５＋５１２、
２７＋１７２８＝２１６＋７２９、とならないのでありえません。
つまり、②、③、⑤、⑦の中に答えがあります。
どうです、わかりましたか？
ヒント２ 正解は③「あまり１」＋「あまり０」＝「あまり１」＋「あまり０」
の中にあります。
Ｓｔｅｐ２ 偶数・奇数に分けて考える
「あまり１」 偶数：６４、１０００ 奇数：１、３４３
「あまり０」 偶数：２１６、１７２８ 奇数：２７、７２９
Ｎが偶数とすると、偶数＋偶数か偶数＋奇数になります。
６４＋２１６＝２８０
６４＋１７２８＝１７９２
１０００＋２１６＝１２１６
１０００＋１７２８＝２７２８
１＋２７＝２８
１＋７２９＝７３０
３４３＋２７＝３７０
３４３＋７２９＝１０７２ この中には同じ数はありませんでした。
Ｎが奇数とすると、偶数＋奇数になります。
６４＋２７＝９１
１０００＋２７＝１０２７
６４＋７２９＝７９３
１０００＋７２９＝１７２９
１＋２１６＝２１７
１＋１７２８＝１７２９
３４３＋２１６＝５５９
３４３＋１７２８＝２０７１
見事に１７２９で等しくなりました！
つまり、１×１×１＋１２×１２×１２＝９×９×９＋１０×１０×１０＝１７２９
河野大臣の答えは１７２９になります。
ヒントがなければなかなか難しいですね。
数に関する問題では、「〇で割ったあまり」に着目すると、糸口が見つかる
ことがあります。ぜひおぼえておいてください。
ところで、今回のブログのタイトルはタクシー数ですが、これはいったい何でしょう？
これには次のエピソードがあります。
数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディが療養所に入院している数学者シュリニヴァ―サ・ラマヌジャンを見舞いに行ったときの会話
ハーディが「ナンバーが1729のタクシーに乗った。その1729という数は、素数でもないし、平方数でもないし、なにか無味乾燥なもののように思えた。だから、それが不吉なことの前兆でないことを願っていたんだよ。」と言った。
ラマヌジャンは「そんなことはありません、1729はとても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」と返した。
ここから、Ｎ通りの２つの立方数の和として表される最小の数のことを「Ｎ番目のタクシー数」と呼ぶようになりました。
数にはいろいろありますね。友愛数とか。
興味のある方は「博士の愛した数式」をぜひお読みください。
今回は以上です。また次回お会いいたしましょう。
