みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

今回は中学入試に必要な知識・解法を使って、大学入試の
問題にチャレンジしてみましょう！

さっそく問題です。

２、３，５，７，11、13、17・・・・・・、と最初は書き出すことも可能ですが、
100を超えると、その数が本当に素数なのか確認しながら進めないと
いけませんので大変です。

そこで攻略のポイントは、逆を考える！です。
素数が250個以下である＝素数ではない数が750個以上である
ということを示せばOKです。
素数ではない数、ということは何かの倍数（合成数といいます）になって
いることになります。

そこで、小さい素数である２の倍数から考えます。

１から１０００までの間に、２の倍数は
１０００÷２＝500個あります。ただし、２×１＝２の２だけは素数に
なりますので、合成数は500－１＝499個となります。

次に３の倍数です。
１から１０００までの間に３の倍数は
１０００÷３＝333あまり1より、333個あります。
しかし、この中には先ほど２の倍数のときに数えたものも含まれます。
それを除かないといけません。
それは、２と３の公倍数＝２と３の最小公倍数である６の倍数です。
１から１０００までの間に６の倍数は
１０００÷６＝１６６あまり４より、166個あります。
したがって、333－166－1＝166個が新たな合成数となります。
最後に1をひいたのは、３×１＝３は素数だからです。
これで合成数は合計499＋166＝665個となりました。

次は５の倍数です。
１から１０００までの間に５の倍数は
１０００÷５＝200より、200個あります。
しかし、この中には２の倍数と３の倍数のときに数えたものも含まれます。
それを除かないといけません。
5の倍数のうち、2の倍数でも3の倍数でもない数は、
5、25、35、55、65、85・・・、となっておりこれは
30で割ると５か25あまる数です。

そこで周期を使って求めます。
1000÷30＝33あまり10
１～30というひとつの周期の中に該当する数は2個あるので、
33回の周期の中では33×2＝66個。
最後991～1000の中では、995の1個が該当するので
66＋1＝67個が、5の倍数であるが2の倍数でも3の倍数でもない数です。
もちろん、最初の5は除くので、67－1＝66個が新たな合成数です。
これで合成数は合計665＋66＝731個となりました。

750個まであとわずかです。
最後は7の倍数で、２でも３でも５でも割り切れない数を19個見つけます。
7の倍数は７×□と表せます。
1から１０００までの間の数のとき、１０００÷７＝１４２あまり６より、
7×１、７×２、７×３・・・・・７×141、７×142　の142個7の倍数があります。
このうち、２でも３でも５でも割り切れない数は、
□に入る数が２でも３でも５でも割り切れない数ということです。
７×１は除くので、当てはまるのは小さい順に、
７×７、７×１１、７×１３、７×１７、７×１９
７×２３、７×２９、７×３１、７×３７、７×４１
７×４３、７×４７、７×４９、７×５３、７×５９
７×６１、７×６７、７×７１、７×７３
と1000以下で19個見つかりました。
これで合成数は750個となり、750個以上の合成数があることになります。

よって、素数の数は250個以下であることが示されました。

いかがでしたか？この解説には倍数の個数の求め方の様々な解法が
含まれています（ベン図・周期・積を使う）。ぜひ復習してみてください。