みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

今回は正方形タイルことポリオミノについて解説します。
ポリオミノって何？と思われますよね。
ポリオミノとは、複数の正方形を点でつないだ多角形のことです。
２つつないだものをドミノといいます。そうです、あのドミノです。

回転させたり、裏返したりすると重なる図形は１種類として数えると
ドミノは１種類しかありません。

３つつないだものはトリオミノまたはトロミノといいます。
ではトリオミノは何種類あるでしょう？

正解は２種類です。
下の図のように、ドミノにもう一つ正方形をつけて作りますが、そのときに
つける場所によって樹形図を作って考えます。重複するものに気をつけましょう。

４つつないだものはテトロミノといいます。聞き覚えありますか？
このテトロミノが落ちてきて敷き詰めていくパズルが「テトリス」です。
このゲームを考案した科学者は、水族館でヒラメが舞い降りて海底と同化したり、
ヒラメの上にヒラメが重なるのを見て思いついたそうです。

テトリスでは７種類のブロックが落ちてきますが、裏返して重なるものを除くと
全部で下の５種類になります。

そして、５つつないだものをペントミノといいます。
中学受験の世界でも、かつてペントミノは何種類あるかを答える問題が出題
されました。
これもテトロミノから樹形図で全ての形を一度作成し、
重複するものを消去して数えることになります。以下の12種類が正解です。

以下、６つのヘキソミノは３５種類、７つのへプトミノが１０８種類
８つのオクトミノは３６９種類あることが分かっています。

さて、このポリオミノを使った問題に「敷き詰め問題」があります。
所定のポリオミノを使って、指定された形に重ねることなく敷き詰める
という問題です。

色々考えてみてください。答えは果たして？

それでは正解の解説です。
解説をするために、長方形のマスを市松模様に塗ります。

正方形のテトロミノは、長方形の中にどのように置いても必ず
緑と黒が２マスずつ入っていることになります。

長方形のテトロミノ、Ｌ字型のテトロミノ、階段型のテトロミノも同様に、
どのように置いても必ず緑と黒が２マスずつ入ります。
しかし、Ｔ字型のテトロミノは、どちらかの色が３マス、残りが１マスになります。

長方形には緑マスと黒マスが１０マスずつですが、５つのペントミノに入る色マスは
合計で、緑１１マス・黒９マス、もしくは緑９マス・黒１１マスとなります。
そのため、絶対に敷き詰めることができないと分かりますので、
答えは「できない」です。

この市松模様を使った証明の仕方は、一筆書き問題でも使用されます。

なかなか奥が深いポリオミノの世界です。
正方形をつなげない「正六角形のテトロミノ」が何種類あるか？なんて問題も
出題されるかもしれませんよね。

それではまた次回お会いしましょう。