みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。
今日のテーマは、「面倒な相似や面積比の問題を解くコツ」part2です。
相似や面積比を使った問題は、多くの学校で出題される単元です。
与えられた図から必要な情報を読み取る作業は難しく、
どう考えていいのかわかりにくいです。
そんな相似や面積比の問題を楽に解けるようにするコツを２つ以前ご紹介
いたしました。
それは「背筋を伸ばして」と「具体的に」です。
「背筋を伸ばして」は直角が入ってない平行四辺形や三角形を、
直角が入った長方形や直角三角形に書き換えることで、面積を計算しやすく
し、何をしたら良いかわかりやすくするコツです。
「具体的に」は、与えられた比に「㎝」の単位をつけ、具体的な長さにしてしま
うというもの。比がたくさん出てくるとわかりにくくなりますが、具体的な長さで
あれば面積も出せるのでわかりやすくなります。
今回は、この２つのコツの復習として、普通に解くと面倒な相似・面積比の
問題での使用例を新たにご紹介いたします。
右の図のABCDは長方形で、AE：EB=CG：GD
＝２：１、BF:FC=DH：HA=３：１、AFとED、BGの
交点をそれぞれP、Q、HCとBG、EDの交点を
それぞれR、Sとします。
四角形PQRSの面積は四角形ABCDの面積
の何倍ですか。
一般的な解法は、
①⊿ABQと⊿AEPの相似比から、EP：BQを求める
②⊿BRCと⊿BQFの相似比からBQ：QRを求める
③EPとRGの長さが等しいことから、連比を用いてBQ：QR：RGを求める
④四角形BGDEが四角形ABCDの何倍の面積か求める
⑤四角形PQRSが四角形BGDEの何倍の面積か求める
⑥四角形PQRSが四角形ABCDの何倍の面積か求める
というふうに、相似形の場所はいろいろ組み合わせがありますが、
２つの相似比→連比で１つの比→面積比
という流れで解くため、手順が多くなり覚えるのも大変です。
また手順が多いと計算ミスも多くなります。
そこで、「背筋をのばして」「具体的に」です。
背筋を伸ばす＝直角を作るということで、
この図形を、PQRSが長方形になるように書きなおします。
それが下の図です。
直角が多くなり、一気に計算できそうな雰囲気が出てきました。
次は「具体的」です。比の数字に単位をつけて、そのまま長さにします。
相似比の性質を活かし、
AE：EB=AP:PQ＝２：１ より、AP=２㎝、PQ=１㎝と設定します。
同様に、BF：FC=BQ：QR＝３：１より、BQ=３㎝、QR=１㎝とします。
他の辺も、CR=２㎝、RS=１㎝、DS=３㎝、SP=１㎝となります。
そうすると、四角形PQRSも四角形ABCDも簡単に面積を求められます。
PQRS PQ×QR=１×１＝１㎠
ABCD PQRS+ABQ+BCR+CDS+DAP（真ん中の長方形とまわりの直角三角形４つ）
＝１＋３×３÷２×２＋２×４÷２×２
＝１＋９＋８
＝１８㎠
したがって、PQRSの面積はABCDの面積の１/１８倍となります。
最初に図を描き直しさえすれば、計算だけで楽に解けます。
「比」で四苦八苦している方は、この「比から解放される解法」を
使ってみてください。
また次回お会いしましょう。
