みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

塾での新学年がスタートして一か月。学習のペースには慣れて
きましたか？
この時期は、トップスピードで走ることよりも、継続して走り続けること
のできる「勉強の持久力」を養うことが大切です。
２時間集中して学習⇨休憩　というオンオフを上手く取り入れましょう。

さて、今年の入試問題で私が「えっ！」と驚いたのが、筑波大附属駒場中の
問題です。

どうして「えっ！」と驚いたのか、それは、この問題が過去にいろいろな学校で
題材として取り上げられた有名な問題だからです。

たとえば、開成中は2018年入試の大問３で、正方形のマス目に連続する整数
を書きこむ、という形式で出題しています。

多くの受験生は解法が分かっていたので、解きやすかったと思われます。

もしかしたら今後も「過去の名作問題」がリメイクされて出題される、なんてこと
もありそうなので注意が必要です。

そこで今回はこの「連続する整数の和で表す問題」の解法を説明してまいります。

連続する整数の和は次のような「階段状の図形」にすることができます。

これを上下ひっくり返した図形を作り、左右にくっつけます。

そうすると、たてが「連続する整数の個数」、横が「最初と最後の数の和」
でできた長方形になります。

個数が奇数だと、最初と最後の和は必ず偶数に
個数が偶数だと、最初と最後の和は必ず奇数になります。

つまり、ある数を２倍し、２数の積の形で表したとき
奇数×偶数の形になっていれば、必ず連続する整数の和で表せるということです。

たとえば筑駒の問題（１）５０の場合、
５０×２＝１００
１００＝１×１００、２×５０、４×２５、５×２０、１０×１０
このうち奇数が入っているのは、１×１００、４×２５、５×２０の３通りです。
１×１００の場合「最初と最後の和が１００になる、１個連続する数」もしくは
「最初と最後の和が１になる、１００個連続する数」となり、どちらもありえないので
これは式になりません。
４×２５の場合「最初と最後の数の和が２５で４個連続する数」となり、
１１＋１２＋１３＋１４＝５０となります。
５×２０の場合「最初と最後の数の和が２０で５個連続する数」となり、
８＋９＋１０＋１１＋１２＝５０となります。
よって、（１１～１４）と（８～１２）の２通りできます。

（２）（３）も同じように考えてみましょう。

（２）１０００
１０００×２＝２０００
２０００＝２×２×２×２×５×５×５より、
２０００＝５×４００、２５×８０、１２５×１６　の３通り考えられます。

５×４００→最初と最後の和が４００で５個連続→（１９８～２０２）
２５×８０→最初と最後の和が８０で２５個連続→（２８～５２）
１２５×１６→最初と最後の和が１２５で１６個連続→（５５～７０）
答えは、（２８～５２）（５５～７０）（１９８～２０２）です。

（３）２０２２
２０２２×２＝４０４４
４０４４＝２×２×３×３３７より、
４０４４＝３×１３４８、３３７×１２、１０１１×４　の３通り考えられます。

３×１３４８→最初と最後の和が１３４８で３個連続→（６７３～６７５）
３３７×１２→最初と最後の和が３３７で１２個連続→（１６３～１７４）
１０１１×４→最初と最後の和が１０１１で４個連続→（５０４～５０７）
答えは、（１６３～１７４）（５０４～５０７）（６７３～６７５）です。

次回も有名算数問題について取り上げたいと思います。お楽しみに。