みなさん、こんにちは。受験Dr.の亀井章三です。

今回も時計の長針と短針が成す角度を考える時計算という問題についてです。
時計算は旅人算の特殊算とも言われており、やや難しい問題です。その時計算
の解き方を整理していきたいと思います。

1 時計の動きの基本情報の確認

時計算で出てくる長針（分針）と短針（時針）の動きは決まっています。毎回計
算して求めていては大変なのでおぼえてしまいましょう。

長針（分針）　1時間で1周＝60分で360度＝分速6度
短針（時針）12時間で1周＝720分で360度＝分速0.5度

また、旅人算では兄と弟が同じ方向に進んだり、反対方向に進んだり、と動き
は様々ですが、時計の針は文字通り時計回りにしか進みません。そのため、1分
間で長針は短針より5.5度多く進むことになります。この速度の差も毎回使いま
すのでおぼえましょう。

2 両針が重なる時刻を求める

ここからが本題です。
問題　4時と5時の間で時計の長針と短針が重なるのは4時何分ですか。

この問題について考えてみましょう。今回のテーマも解法のパターン化です。
つまり、何時と何時の間でもあてはめれば解くことができる公式を作っていきます。

まずは２つの針が出発する時刻を考えます。短針が数字を指すのは〇時ちょ
うど（〇時0分）の時だけです。そこで、今回は4時ちょうどの時からスタートしま
す。4時ちょうどの時、長針は12を短針は4を指しています。これから2つの針
はともに時計回りで進んでいきます。この状況を、短針よりも後ろにいる長針が、
短針を追いかけていくと捉えます。文字盤の12と4の間は、30×4＝120より、
120度離れています。つまり、状況としては、短針よりも120度後ろにいる長針が、
短針を追いかけていくということです。

では、両針が重なるという状態は、角度を使うとどう言いかえることができるで
しょうか。それは2つの針の間の角度が0度になるということです。4時のときに
あった120度の差が、毎分5.5度ずつ近づいていき0度になるまでの時間を求
めます。

ここでパターン化です。
〇時ちょうどの時の角度は、（〇×30）度ということになります。この角度を
毎分5.5度ずつ減らしていくので、〇時と（〇＋1）時の間で、両針が重なる
時刻は〇時(〇×30)÷5.5分となります。計算を進めて、とし
てもよいです。

3 両針が反対方向に一直線になる時刻を求める

次の問題です。
問題　4時と5時の間で時計の長針と短針が反対方向に一直線になるのは
4時何分ですか。

短針よりも120度後ろにいる長針が、短針を追いかけていく、という最初の状
況は先ほどの問題と同じです。では、両針が反対方向に一直線になるという状
態は、角度を使うとどう言いかえることができるでしょうか。それは2つの針の間
の角度が180度になるということです。そのため、最初の角度が180度より大き
いか小さいかで場合分けをすることになります。

（1）最初の角度が180度より大きいとき
例えば7時ちょうどのとき、最初の角度は30×7＝210度です。これが180度
になるには、210－180＝30より、30度角度が縮まればよいということです。した
がって、になります。

（2）最初の角度が180度より小さいとき
4時ちょうどのときの差である120度はどんどん小さくなっていくため、まずは
０度＝両針が重なる状態になります。その後は長針がどんどん前に出ていく形
になり、2つの針の間の角度はどんどん大きくなっていきます。この大きくなった
角度が180度になったときが反対方向に一直線になった時です。つまり、4時と
5時の場合は、120＋180＝300、300度長針が多く進んだ時となります。

ここでパターン化です。
〇時ちょうどの時の角度である（〇×30）度が180より大きいか小さいかで、
使う計算式は変わります。したがって、180÷30＝6より、〇が6より大きいか
小さいで場合分けします。

・〇が7以上11以下のとき
最初の角度（〇×30）と180の差、（〇×30－180）度縮まればよいので、
〇時（〇×30－180）÷5.5分　となります。

・〇が0以上5以下のとき
最初の角度＋180度、長針が多く進んだときなので、
〇時（〇×30＋180）÷5.5分　となります。

公式はどのような場合でも使用することができるものです。起こり得る条件
をしっかり考えて、完璧なものを作り上げましょう。

次回も時計算を説明します。細かい場合分けが必要となる、両針の間の角
度が〇度になる時刻を求める問題のパターン化です。よろしくお願いします。