こんにちは、受験ドクターのK.Dです！

今回はタイトルにもあるように対角線が通る立方体の数ついて触れたいと思います。

平面図形における対角線が通る正方形の数の問題は毎年どこかの学校で出題されていますし、ネット上にも解法を紹介しているブログは多くありますが、これの立方体バージョンはなかなか紹介されていないので、是非読んで、ライバルに差をつけましょう。

まずは、立方体ではなく、平面図形における、対角線が通る正方形の数から例題を交えて説明していきます。

では、例題を交えつつ説明していきます。

 

 

問　下の図のように、正方形のマスを縦に2個、横に3個並べて長方形を作ります。この長方形の対角線

は、何個のマスを通過するか求めなさい。

 

 

いかがでしょうか。

このぐらいであれば下図のように実際に対角線を引いて、4個と求めた方も多いのではないかと思います。

 

 

計算で解く方法もご紹介します。

対角線を引くと、縦の線を3回、横の線を2回通ることが分かります。

では、対角線が通る図形は5個なのでしょうか。

縦3回、横2回通った時に点が重なるので、最後に－1をしなければいけないので、

答えは、3＋2－1＝4より、4個となります。

 

 

 

 

では、正方形のマスが多い場合どうやって求めましょう。

次の問題を考えてみましょう。

 

 

問　正方形のマスを縦に19個、横に17個並べて長方形を作ります。この長方形の対角線は、何個のマスを通過するか求めなさい。

 

 

いかがでしょうか。

このぐらいの数になると図を描いて、実際に対角線を引くのは大変ですし、なにより、正確に描くのは至難の業だと思います。

ここで、先ほど説明した計算で解く方法を用いましょう！

 

対角線を引くと、縦の線を19回、横の線を17回通ることが分かります。

次に、縦19回、横17回通った時に点が重なるので、最後に－1します。

よって、答えは、19＋17－1＝35より、35個となります。

 

 

次に対角線が通る立方体の数を触れたいのですが、もう1問触れておきたいパターンがあるので、次の問題を考えてみてください。

 

 

問　正方形のマスを縦に24個、横に36個並べて長方形を作ります。この長方形の対角線は、何個のマスを通過するか求めなさい。

 

 

いかがでしょうか。

2問目同様、このぐらいの数になると図を描いて、実際に対角線を引くのは大変ですし、なにより、正確に描くのは至難の業だと思います。

よって、先ほど説明した計算で解く方法を用いましょう！

 

対角線を引くと、縦の線を24回、横の線を36回通ることが分かります。

次に、縦24回、横36回通った時に点が重なるので、最後に－1します。

よって、答えは、24＋36－1＝59より、59個となります。

 

ストーーーップ！！！

一見、合ってそうに見えますが、このままではダメです。

では、どこが間違っているのでしょうか。

 

1問目を思い出してみてください。

1問目は正方形のマスを縦に2個、横に3個並べており、縦2マス、横3マスで重なっています。

つまり、下図のように縦2マス、横3マスごとに毎回重なっていくことが分かります。

 

 

今回の問題は縦に24個、横に36個なので、1問目の図形が12回あると分かります。

よって、24＋36－12＝48個となります。

もちろん、縦に2個、横に3個のとき、4個だったから、その12倍で4×12＝48個と求めてもよいです。

 

 

では、本題に入りましょう。

今年東海中学で出題された問題にまさにこのテーマの問題がありましたので、抜粋します。

 

 

問 図1のように、1辺が1㎝の立方体を60個組み合わせて、たて、4㎝、横5㎝、高さ3㎝の直方体ABCD－EFGHをつくりました。点Aと点Gを直線で結んだものを、対角線AGということにします。対角線AGは、1辺が1㎝の立方体を何個通りますか。

 

 

 

いかがでしょうか。

 

このような立体図形の通過の問題は2平面で相互的に考えることが多いですが、この問題の場合、通過する立体の数が多いので、かなり正確に図を書かなければいけません。2問目同様、それは厳しいので計算で解きましょう。

正面で捉えると、縦に3回、横に5回、真横で捉えると、縦に3回、横に4回通ります。

縦を重複して数えないことと、点Gで3つの点が重なることに気を付けて計算しましょう。

すると、3＋5＋4－2＝10個と分かります。

 

 

イメージしやすいように、図での考え方も載せます。

まずは、正面から見たBCGF平面で考えます。すると、BからGに直線が引けます。このとき、BからGにたどり着くまでに縦と横に何本の線を通るかを数えます。すると、縦に3本、横に5本通ると分かります。そして、縦線と横線が交差しているところをBGが通っていないかを確認します。BGは縦に3本と横に5本進むので、最後のG以外縦線と横線が交差しているところは通りません。

次に、真横から見たCDHG平面で考えます。すると、DからGに直線が引けます。このとき、DからGにたどり着くまでに縦と横に何本の線を通るかを数えます。すると、縦に4本、横に3本通ると分かります。そして、縦線と横線が交差しているところをBGが通っていないかを確認します。BGは縦に3本と横に4本進むので、最後のG以外縦線と横線が交差しているところは通りません。

よって、下の図のように3辺で考えると、（3+5+4−1−1＝）10個の立体を通ると分かります。

 

 

次のブログは何をテーマにしようかなあ、、

必ず受験の役にたつブログを書いていくので、今後も是非読んでみてください。

それではまた。