皆さんこんにちは。
受験ドクター講師の勝山利信です。
前回に引き続き、算数の「場合の数」をテーマにお話しします。
前回は、順列と組み合わせの基本計算とその見極めについてお話ししました。基本的には、順番が関係あれば順列、関係なければ組み合わせというように上手に使い分けをしましょう。今回はそこに、もう一つの要素である、「場合分け」の重要性について考えていきましょう。
【場合を分けるとはどういうことか】
では、場合を分けるとはどういうことか具体的に問題を解きながら見ていきましょう。
次のように１から４までの数が書かれたカードが１枚ずつあります。そのうち、３枚を並べて３ケタの整数をつくると何通りできますか。
カードを並べかえて整数をつくるという、場合の数の問題の中でも頻出の問題です。まずは、このようなタイプの問題の基本を押さえましょう。今回は３ケタの整数をつくるので、どの数が百の位、十の位、一の位にそれぞれ並ぶかによって、出来上がる整数は異なります。順番が関係あるタイプの問題ですので、順列の考え方をベースにしましょう。まず百の位の選択肢が４つあり、十の位の数を並べるときは残りの３つから、一の位の数を並べるときは残りの２つからそれぞれ選ぶことになるので、４×３×２＝２４通りと計算して求めることができます。類題であればカードの種類が増えたとしても、同じように計算することができます。
では、次の問題はどうでしょうか？
次のように１、１、２、３、４の数が書かれたカードがあります。そのうち、３枚を並べて３ケタの整数をつくると何通りできますか。
カードが５枚に増えましたが３ケタの整数をつくるので、一見５×４×３＝６０通りと確認問題１と同じように計算して良さそうですが、そのように答えると実は間違えとなってしまいます。
単純に順列の考え方を使ってしまうと、１枚目の１のカードと２枚目の１のカードを使ったときにつくられる整数を別のものとして数えてしまっているので、重複が発生しています。実際の場合の数より多く数えてしまっているという状況です。では、この状況をどのようにクリアしていけばよいでしょうか？
ここで今回のテーマである「場合分け」が重要になってきます！
１のカードが２枚あることがこの問題のポイントですので、今回は１のカードの枚数に注目して場合を分けて考えていきます。
・１のカードを２枚使う場合
カードの組み合わせは、（１，１，２）、（１，１，３）、（１，１，４）の３つがあり、例えば（１，１，２，）のカードを並べ替えると、１１２、１２１、２１１の３つ整数をつくることができます。（１，１，３）、（１，１，４）についても同じように３つの整数をつくることができるので、この場合は３×３＝９より９通りの整数をつくることができます。
・１のカードを１枚使う場合
カードの組み合わせは、（１，２，３）、（１，２，４）、（１，３，４）の３つがあり、例えば（１，２，３）のカードを並べ替えると、１２３、１３２、２１３、２３１、３１２、３２１の６つの整数をつくることができます。書き出さずに、３枚の並べ替えなので、確認問題１のように、３×２×１＝６より６つと考えることもできます。（１，２，４）、（１，３，４）についても同じように６つの整数をつくることができるので、この場合は６×３＝１８より１８通りの整数をつくることができます。
・１のカードを使わない場合
カードの組み合わせは、（２，３，４）の１つだけで、並べ替えると３×２×１＝６より６つと考えることもできます。この場合は、そのまま６通りの整数がつくられることになります。
ここまで３つの場合に分けて、それぞれの場合の数を求めました。この３つの場合は、重複が無く、それ以外の場合は考えられないので、全ての場合を数えたことになります。よって、最後は合計を求めることで、９＋１８＋６＝３３より３３通りの整数をつくることができると分かりました。
条件がさらに複雑になると、気付かないうちに重複が発生してしまったり、抜けている場合があったりしてしまい、そこが誤答の原因になる危険性が高くなります。条件から何にポイントを置いて場合分けし整理していくのかよく考えてトレーニングしましょう。
次の機会には、入試問題レベルの類題を用いて実践編ついてお話ししたいと思います。
目指せ問題対応力UP！
それでは、またお会いしましょう！
