みなさん、こんにちは。
受験Dr.算数・理科科の川上と申します。

年も明け、2025年となりました。本日が入試初日という受験生も数多くいるでしょう。
2025年はなんと1936年以来、89年ぶりの平方数（45×45）の年です。他にも「2025」という数字には様々な性質があります。
ここで基本的な知識をおさらいしておきましょう。

 

１　素因数分解の利用

2025を素因数分解すると、以下のようになります。

2025＝3×3×3×3×5×5

それでは2025の素因数分解を利用した問題に触れてみましょう。

【問題】

(1)2025の約数の個数を求めなさい。
(2)2025の約数の総和を求めなさい。

【解説】

いずれも公式の活用がテーマですね。

(1)素因数3の使い方が0～4の5通り、5の使い方が0～2の3通りです。

よって、3×5＝15通りが答えとなります。

(2)素因数分解の形より、約数の和は以下のようになります。

(1＋3＋9＋27＋81)×(1＋5＋25)＝3751

公式を忘れていたのであれば、必ず確認しておきましょう。

 

２　2025＝45×45の利用

以下の数表において、次の問いに答えなさい。
(1)1行45列の数字を求めなさい。
(2)46行1列の数字を求めなさい。

【解説】

(1)1行には四角数（平方数）が並んでいますね。
45列目は45×45＝2025となります。

(2)1列には(1)で利用した四角数に１を足した数値が並んでいます。
1列46行は2025の次の数であるため、2025＋1＝2026です。

 

３　2025＝1＋3＋5＋・・・＋89の利用

１からの連続する奇数の和は四角数となるため、②と共通する考え方を使うこともありそうです。

【問題】

以下のようにある規則に基づいてご石を並べていきます。

(1)89段目まで並べたとき、必要なご石の数は何個ですか。
(2)89段目まで並べた状態から、ご石をすべて集めて正方形の形に並べ直します。このときの正方形の一番外側には何個のご石が並んでいますか。

【解説】

(1)知っていればすぐ答えが出せますね。

1＋3＋5＋・・・＋89＝2025です。

※「何番目の奇数になるか」は素早く導き出せるように練習しておきましょう。
89は、以下の計算より45番目の奇数となります。
(89＋1)÷2＝45

(2)2025＝45×45より、1辺に45個のご石が並ぶことになります。

(45－1)×4＝176です。

 

４　2025＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）の利用

やや複雑になってきました。45が1～9の三角数になっていることと、2025＝45×45を利用した考え方になります。

【問題】

(1)九九の2の段の答えを全て足すといくつになりますか。
(2)九九の7の段の答えをすべて足すといくつになりますか。
(3)九九の１の段～9の段までの答えをすべて足すといくつになりますか。

【解説】

(1) 2×1＝2、2×2＝4、・・・2×9＝18のすべての和を求めます。

2×1＋2×2＋・・・・＋2×9
＝2×(1＋2＋・・・9)
＝2×45
＝90

より、90が答えとなります。

(2)（1）と同様です。

7×(1＋2＋・・・9)
＝315

より、315が答えですね。

(3) (1)や(2)の計算過程を利用します。

例えば2の段は
2×(1＋2＋・・・9)＝2×45
でしたね。

同様に、3の段は3×45、4の段は4×45になります。

よって、1～9の段の答えの合計は

1×45＋2×45＋3×45＋・・・＋9×45
＝（1＋2＋・・・9）×45
＝45×45
＝2025

より、答えは2025となります。

基本的な知識・解法の確認でしたが、いかがでしたでしょうか。
（立法数の和に関する問題にも触れたかったですが・・・）

抜けていた知識があれば、是非覚えておきましょう。

皆さんが全力で中学入試に立ち向かう姿を心から応援しています。

それでは、今回はここで失礼します。

受験Dr.　川上亮