みなさん、こんにちは。
受験Dr.算数・理科科の川上と申します。

今回はタイトルにもある通り、場合の数の「場合分け」について扱っていきます。

突然ですが、皆さんはギョーザに何をつけて食べますか？
いろいろ選択肢がありそうですよね。

いま、手元にしょう油とラー油と酢があるとしましょう。

１　しょう油
２　しょう油＋ラー油（私は圧倒的にこれです！）
３　しょう油＋酢

さて、3つのパターンを用意しましたが、これは「場合分け」としてはダメなんです。

４　ラー油＋酢

という私の友人がいるため、全てを網羅できていないのです・・・（他にもありそうですよね）

全てを網羅できるように、というのがポイントです。なんとなくわかって頂けましたでしょうか？

さて、問題です。

 

 

問題1

A、B、C、D、Eの5人が旅館に泊まります。泊まる部屋は4人まで泊まれる部屋と、3人まで泊まれる部屋の2部屋です。何通りの泊まり方がありますか。

 

 

解説

泊まる部屋が4人部屋と3人部屋となるため、そもそも何人ずつ泊まるかを考える必要がありそうですね。ここで「場合分け」を行います。

「場合分け」の最大のポイントは、冒頭に触れたとおり、分け方によって全てを網羅することです。

今回、5人が2部屋に泊まります。泊まり方から考えてみましょう。

この3パターンしかないですよね？

これで全てを網羅できたわけです。

ここから先はそれぞれが何通りあるか調べていきましょう。

(ⅰ)（4人部屋、3人部屋）＝(4人、1人)のとき

3人部屋に泊まる1人が決まれば、自動的に4人部屋に泊まる人が決まります。5通りですね。

(ⅱ)（4人部屋、3人部屋）＝(3人、2人)のとき

(ⅰ)と同様、3人部屋に泊まる2人が決まれば、自動的に4人部屋に泊まる人が決まります。

　より、10通りです。

(ⅲ) （4人部屋、3人部屋）＝(2人、3人)のとき

4人部屋に泊まる2人を決めましょう。

(ⅱ)と同様に、　より、10通りです。

(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より、5＋10＋10＝25通りとなります。

今度は入試問題から見てみましょう。

 

 

問題2

図1はある教室の座席表です。座席は9席あり、生徒はみな黒板を向いて座ります。前後左右の座席に並んで座らないように、座席を決めていきます。
例えば、図2のように座席に番号をつけたとき、①の座席に生徒が座るならば他の生徒は②と④に座ってはいけません。次の問いに答えなさい。【渋谷幕張　2022　2次　抜粋】

A、B、C、D、Eの5人が座るとき、座席の決め方は何通りありますか。
A、B、C、Dの4人が座るとき、座席の決め方は何通りありますか。

 

 

解説

ソーシャルディスタンスがテーマの問題・・・なんでしょうか。コロナとインフル、皆さん気を付けてくださいね。

(1)5人を座らせるとなると、(①、③、⑤、⑦、⑨)に座ってもらうしかありません。5×4×3×2×1＝120通りが答えとなります。

(2)とりあえず、どこに人を配置するかで場合分けしてみましょう。(1)で座らせた(①、③、⑤、⑦、⑨)の座席から一つずつ取り除いた

（①、③、⑤、⑦）
（①、③、⑤、⑨）
（①、③、⑦、⑨）
（①、⑤、⑦、⑨）
（③、⑤、⑦、⑨）

の5パターンが考えられます。それぞれ、4×3×2×1＝24通りあるので
24×5＝120・・・とすると失敗です。

（②、④、⑥、⑧）の座らせ方が抜けています。
本当に全てを網羅できているか、慎重に考えましょう。

24×6＝144通りが答えとなります。

 

 

今回は場合分けにおけるポイントをお伝えしました。

分け方によって全てを網羅する

普段の学習においても、意識してみてください。

今回の内容がひとつでもお役に立てば幸いです。

それではこれで失礼します。

受験Dr.　川上亮