受験ドクターの桑田陽一です。3月の講師ブログをお届けします。

今回は「中学受験生でも解ける！？東大入試数学2021年版」と題してお届けします。

今年の東京大学入学試験(前期日程)は2月25日に行われました。
そこで出題された数学の問題を、中学受験生にも解ける形に改題して紹介します。

では早速まいりましょう。
元の問題文はこんな感じでした。

2021年度　東京大学(前期日程)　数学(文科)　第2問

Nを5以上の整数とする。1以上2N以下の整数から、相異なるN個の整数を選ぶ。ただし1は必ず選ぶこととする。選んだ数の集合をSとし、Sに関する以下の条件を考える。
条件1：Sは連続する2個の整数からなる集合を1つも含まない。

(中略)

(1)条件1を満たすような選び方は何通りあるか。

(後略)

問題文にNなどの文字が含まれていたり、「集合」という数学用語も使われていたりして、さすがにこのままでは中学受験生にはよく分かりませんね。

問題の内容はあまり変えないようにしつつ、中学受験生にも考えられるように書き換えてみました。

問題

(1)1以上6以下の整数から3個の整数を選びます。選んだ3個の整数の中に連続する整数が含まれないような選び方は何通りありますか。
(2)1以上10以下の整数から5個の整数を選びます。選んだ5個の整数の中に連続する整数が含まれないような選び方は何通りありますか。
(3)1以上100以下の整数から50個の整数を選びます。選んだ50個の整数の中に連続する整数が含まれないような選び方は何通りありますか。

これならば、新5年生以上のみなさんであれば問題の意味をとらえることは出来るでしょう。

実は、2020年や2019年、2017年にも同じような記事を書いています…。
「中学受験生でも解ける！？」とは言え、過去3回で紹介した問題は、この時期の中学受験生にとってはかなりの難問でした。
でも、今回の問題には多くの受験生が取り組めるのではないかと思いますよ！

では、解説編。自分で考えたい人は、取り組んでから続きを読んでくださいね。

…
…
…

(1)

数が小さいので、とりあえず書き出してみましょうか。
思いつくままではなく、順序よく書き出すことが大切です。
なるべく小さな数を使う選び方から先に書いていきましょう。

1番目の数として、まずは1を選びます。連続する整数を含まないように選ぶので、1の後、2番目に選べる「なるべく小さな数」は3ですね。

(1、3、5)
(1、3、6)

2番目に3を選ぶ組み合わせはこれだけです。次は2番目に4を選びましょう。

(1、4、6)

2番目に4を選ぶ組み合わせはこれしかありませんね。さて次。2番目に5を選ぼうとすると…。もう6しか残っていないので、連続する整数を含まないように選ぶことは出来ません！

1番目の数として2を選ぶと…。

(2、4、6)

連続する整数が含まれないようにするには、この選び方しかありません。

1番目の数として3を選ぶと…。
残りの2つを4、5、6の中からどう選んでも連続する整数が含まれてしまいます。

結局、(1、3、5)、(1、3、6)、(1、4、6)、(2、4、6)で4通りが(1)の答えです！

さて、この後。
(2)は同じように慎重に書き出せば正解が得られます。
そして、(2)までの書き出しから規則性に気がつけば(3)も簡単？

というわけで、今回はここまで。
この続きが自分にも出来そうだと思ったら、ぜひ考えてみて下さい。
(2)と(3)の解説編は次回をお楽しみに！