受験ドクターの桑田陽一です。4月の講師ブログをお届けします。
今回は、前回お送りした「中学受験生でも解ける！？東大入試数学2021年版」の解説編です。
東京大学の入試問題を改題して紹介した問題文はこんな感じでした。
問題
2021年度 東京大学(前期日程) 数学(文科) 第2問(大幅に改)
(1)1以上6以下の整数から3個の整数を選びます。選んだ3個の整数の中に連続する整数が含まれないような選び方は何通りありますか。
(2)1以上10以下の整数から5個の整数を選びます。選んだ5個の整数の中に連続する整数が含まれないような選び方は何通りありますか。
(3)1以上100以下の整数から50個の整数を選びます。選んだ50個の整数の中に連続する整数が含まれないような選び方は何通りありますか。
解説
(1)は、前回の最後に解説したとおり、順番に書き出すことで、
(1、3、5)、(1、3、6)、(1、4、6)、(2、4、6)で4通りと求めることができました。
(2)も、(1)と同様に慎重に書き出してみましょうか。
連続する整数を含まないように注意しつつ、なるべく小さな数から先に使うようにすると…、
(1、3、5、7、9)
(1、3、5、7、10)
(1、3、5、8、10)
(1、3、6、8、10)
(1、4、6、8、10)
(2、4、6、8、10)
このように書き出すことができて、答えは6通りです。
さて、(3)。
1以上100以下の整数と、範囲がとても広くなっているので、これをすべて書き出して求めるのは大変ですね。
そこで、(1)や(2)で書き出したことをもとに、何か規則性がないか考えてみることにしましょう。
いったん、(1)に戻ってみます。
1以上6以下の整数を連続しないように選ぶので、上の図のように6つのマス目を考え、交互に色分けしてみます。
まず、小さい数から連続しないように（1、3、5）を選びます。これを下の図のように●で表してみましょう。
赤枠で表された奇数のマス目に3個すべての●が入りました。
さて、次は…。
●が隣り合わないように別の入れ方を考えると、まずは5に入れていた●を一つ右の6に移すことができますね。
これで、赤枠に入った●が2個、青枠に入った●が1個になりました。
同じように…
右から順に1つずつ、赤枠の●を1つ右隣の青枠に移していくことで、上の図のように4通りの入れ方があることが分かります。最後はすべての●が青枠に入っています。
それぞれの図が、先に書き出して求めた(1、3、5)、(1、3、6)、(1、4、6)、(2、4、6)に対応していることを確認してみてください。
(2)も同じように考えると、
こんな風に●が移っていって、やはり6通りの選び方があることが確認できました。
では、(3)のように1以上100以下の整数から50個選ぶ場合はどうでしょう？
「あ、分かったかも！」という人は、ここで読むのを止めて考えてみてくださいね！
…
…
…
これはさすがに図全体を書くわけにはいきませんが…、
最初は赤い奇数の枠のみに、(1、3、5、…、97、99)と50個の●が入っています。
そして、ここから(1)や(2)と同じように、右から順に●を1つずつ隣に移していくことができます。
上の図のように、●を1つずつ動かすたびに偶数の個数が1個減り、奇数の個数が1個増えます。
(奇数、偶数)＝(50個、0個)から始まって、(49個、1個)、(48個、2個)…と変化して、最終的には(0個、50個)となって終わります。
したがって、求める選び方は50通り！
…ではありませんね。偶数が0個の状態から始まって50個まで増えるので、50＋1＝51通りが正解です。
●を移す回数が50回、これは間の数にあたるので50＋1＝51通りと考えても良いでしょう。
中学入試算数でも、小さな数で書き出すことから規則性を見つけ、それをもとに大きな数について考えさせるような出題は、難関校を中心によく見られます。
最後まで読んでくれたみなさん、今後の学習の参考にしてくださいね！
