みなさん、こんにちは。受験Dr.の桑田陽一です。
5月の講師ブログをお届けします。
前回までの東大入試に続き、今回は京都大学の入試問題にチャレンジしてみましょう。
問題
1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。
2007 京都大学理系 大問1 (2)
京都大学と聞いても、小学生のみなさんにはあまりなじみがないかもしれませんが、東京大学と肩を並べる、西日本一の難関大学です。
受験生のみなさんが生まれるよりも前、少し古めの問題ですが、これなら何となく取り組めそうではないですか？
考えやすいように、問題の急所となる部分は変えずに小問を付け加え、数値も少し小さくしてみます。
問題(改)
1歩で1段または2段のいずれかで10段の階段を昇ります。
(1)階段の昇り方は全部で何通りありますか。
(2)1歩で2段昇ることを連続しないものとしたとき、昇り方は全部で何通りありますか。
2007年 京都大学理系 改！
これで、中学受験生のみなさんにも取り組みやすくなったでしょうか。こちらの形で考えてみましょう。
今の時期の6年生だと、「(1)には見覚えがある！」という人も「見たことがない…」という人もいることでしょう。
「見たことがない」という人でも、前回までの記事を参考にすると、以下のような解法にたどり着けるのではないでしょうか？
解答
(1)
10段の階段を、1段または2段のいずれかで昇るためには…
①(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)のように、1段を10回で昇る。
②(1,1,1,1,1,1,1,1,2)のように、1段を8回と2段を1回で昇る。
③(1,1,1,1,1,1,2,2)のように、1段を6回と2段を2回で昇る。
④(1,1,1,1,2,2,2)のように、1段を4回と2段を3回で昇る。
⑤(1,1,2,2,2,2)のように、1段を2回と2段を4回で昇る。
⑥(2,2,2,2,2)のように、2段を5回で昇る。
これだけの場合に分けられます。
よって、答えは6通り？……ではありませんね。
例えば、②の場合。
1-1-1-1-1-1-1-1-2
1-1-1-1-1-1-1-2-1
1-1-1-1-1-1-2-1-1
…
…
のように、1段と2段で昇る順番も考える必要があります。
①～⑥の場合について、1と2の並べ方を考えれば答えが出ますね。
ここまでくれば前回までの考え方で求まります。
同じものを含む並べ方は、「空き枠の選び方」を考えるのでした。
①
すべて1なので、これは1通り。
②
1段を8回と、2段を1回。計9回昇るうち、2段昇る1回がどこに来るかを選びます。
9個から1個を選ぶのと同じで9通り。
③
計8回昇るうち、2段昇る2回がどこに来るかを選びます。
(8×7)÷(2×1)＝28通り。
④
計7回昇るうち、2段昇る3回がどこに来るかを選びます。
(7×6×5)÷(3×2×1)＝35通り。
⑤
計6回昇るうち、1段昇る2回がどこに来るかを選びます。
(6×5)÷(×2×1)＝15通り。
⑥すべて2なので、これは1通り。
これらを足し合わせ、1＋9＋28＋35＋15＋1＝89通りです！
(2)
(1)で考えたように1と2を並べていくのですが、2が連続してはいけないという条件です。
隣り合わないように並べるには、前回触れた「スペース」の考え方が使えそうです。
①(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)のように、1段を10回で昇る。
②(1,1,1,1,1,1,1,1,2)のように、1段を8回と2段を1回で昇る。
③(1,1,1,1,1,1,2,2)のように、1段を6回と2段を2回で昇る。
④(1,1,1,1,2,2,2)のように、1段を4回と2段を3回で昇る。
⑤(1,1,2,2,2,2)のように、1段を2回と2段を4回で昇る。
⑥(2,2,2,2,2)のように、2段を5回で昇る。
①
これは1通り。
②
2が1個しか含まれず、隣り合うことはないので(1)のまま9通り。
③
「＿1＿1＿1＿1＿1＿1＿」のように、6個の1を先に並べておき、1と1の間と両端にできた7か所のスペースから、2を入れる2か所を選びましょう。
(7×6)÷(2×1)＝21通り。
④
「＿1＿1＿1＿1＿」のように、4個の1を先に並べておき、1と1の間と両端にできた5か所のスペースから、2を入れる3か所を選びます。
(5×4×3)÷(3×2×1)＝10通り。
⑤⑥
2が多すぎて、どのように並べても2が連続してしまいますね。これらは0通り。
したがって、求める場合の数は1＋9＋21＋10＝41通りです！
これにて、めでたしめでたし。また来月をお楽しみに！？
…
…
…
いや、ちょっとこれではつまらない。
おそらく、もともと問題に見覚えがあったという人たち、ここまでの解説を読みながら、「こんな面倒なことをしなくてもよいのに…」と思っていたのではないでしょうか。
「階段昇りと言えば○○○○○○数列だよね。でも、(2)はどうするんだろう？」
こんな風に思っていたとしたら、よい感じ！
長くなったので、今回はいったんここまで。
次回は別の方法で考えてみましょう！
