みなさん、こんにちは。受験Dr.の桑田陽一です。

今回は、算数クイズの難問を1題。
算数が好きな4年生以上であれば、楽しめる問題だと思います！

 

問題

5つの整数A、B、C、D、Eがありますが、これらの値は分かっていません。
はるかさんは、この5つの整数を求めるために、以下のような質問を何度でもすることができます。

(あ)、(い)、(う)、(え)、(お)として好きなように5つの整数を選び、

質問
「(あ)×A ＋ (い)×B ＋ (う)×C ＋ (え)×D ＋ (お)×E」の値はいくつですか？

さて、はるかさんがA～Eの整数の値を確実に求めるためには、この質問を何回すれば良いでしょうか？

問題の意味をとらえることができたでしょうか？

例えば、A＝1、B＝2、C＝3、D＝4、E＝5という5つの整数が定められているとします。
はるかさんは、この5つの整数を当てなければいけません。

そのために、はるかさんは別の5つの整数である、(あ)～(お)を選んで、
(あ)×A ＋ (い)×B ＋ (う)×C ＋ (え)×D ＋ (お)×E
の値を聞くことができます。

仮に、(あ)～(お)の全てに1を選んだとすると、

(あ)×A ＋ (い)×B ＋ (う)×C ＋ (え)×D ＋ (お)×E
＝1×A ＋ 1×B ＋ 1×C ＋ 1×D ＋ 1×E
＝A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E

つまり、A～Eの和である「15」という答えが返ってきます。

次に、(あ)＝1、(い)＝2、(う)＝3、(え)＝4、(お)＝5を選んだとすれば、

1×1 ＋ 2×2 ＋ 3×3 ＋ 4×4 ＋ 5×5 ＝55より、

「55」という答えが返ってきます。

このように、何度でも(あ)～(お)を自由に選んで質問ができるのですが、確実にA～Eの値を求めるためには、何回の質問が必要かという問題です。

正直なところ、かなりの難問ですが、面白そうと思った人は少し考えてみましょうか。

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「5回？」と思った人、とても鋭いセンスの持ち主です！
0も整数ですから、1回目の質問で
1×A ＋ 0×B ＋ 0×C ＋ 0×D ＋ 0×E
の値を聞けば、これはAの値そのものです。

以下、

0×A ＋ 1×B ＋ 0×C ＋ 0×D ＋ 0×E
0×A ＋ 0×B ＋ 1×C ＋ 0×D ＋ 0×E
0×A ＋ 0×B ＋ 0×C ＋ 1×D ＋ 0×E
0×A ＋ 0×B ＋ 0×C ＋ 0×D ＋ 1×E

の値を質問すれば、順にB、C、D、Eの値そのものが分かってしまいます。

よって、5回の質問でA～Eの値が確実に求められることは分かりました！

でも、これだけではつまらないですよね。
実際、もっと少ない回数でも、A～Eの値を求めることができるのです！

この先は、ノーヒントではかなり難しいと思います。
少し単純にした問題を手がかりに、考えてみましょう。

 

ヒント問題1

1けたの整数A、B、C、D、Eがあります。
この5つの整数を求めるために、以下のような質問を1回だけすることができます。

(あ)、(い)、(う)、(え)、(お)として好きなように5つの整数を選び、

質問
「(あ)×A ＋ (い)×B ＋ (う)×C ＋ (え)×D ＋ (お)×E」の値はいくつですか？

さて、A～Eの整数の値を確実に求めるためには、(あ)～(お)にどのような整数を選べば良いでしょうか？

求める整数に「1けた」という条件がつきました。
その代わりに、何と1回だけの質問で5つの整数を全て確実に求めることができます！

これなら、ひらめく人もいるかも？
ヒントは「10進法」です…。

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解答

10000×A ＋ 1000×B ＋ 100×C ＋ 10×D ＋ 1×E
の値を質問することを考えてみましょう。
「あー、そういうことか！」と思った人もいるでしょうか？

例えば、A＝1、B＝2、C＝3、D＝4、E＝5であったとしましょう。
先の式の値を質問すると、

10000×1 ＋ 1000×2 ＋ 100×3 ＋ 10×4 ＋ 1×5
＝10000 ＋ 2000 ＋ 300 ＋ 40 ＋5
＝12345

という答えが返ってきますね。
一万の位、千の位、百の位、十の位、一の位の数字として、それぞれA～Eまでの値が現れています。

A～Eが1けたの整数であること、そして10進法の位取りの仕組みを活かして、1回の質問でA～Eの値をバラバラの位に表示することができましたね！

 

ヒント問題2

99以下の整数A、B、C、D、Eがあります。
この5つの整数を求めるために、以下のような質問を1回だけすることができます。

(あ)、(い)、(う)、(え)、(お)として好きなように5つの整数を選び、

質問
「(あ)×A ＋ (い)×B ＋ (う)×C ＋ (え)×D ＋ (お)×E」の値はいくつですか？

さて、A～Eの整数の値を確実に求めるためには、(あ)～(お)にどのような整数を選べば良いでしょうか？

問題1と比べ、整数の値の範囲が2けたまでに広がりました。
全く同じ式ではうまく行きませんが、考え方を活かせばやはり1回の質問で確実にA～Eの値を知ることができますよ！

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と、長くなってきたので、今回はいったんここまで。
次回、ヒント問題2の解説と、元の問題の解決編をお送りします！
「できるかも！？」と感じた人は、ぜひ考えてみてくださいね。