今回の「基本を考えよう」は「辺の比と面積比」です。

　　 パターン１

「辺の比と面積比」の基本は、なんと言っても下図です。

三角形ＡＢＤ　と　三角形ＡＣＤ　の面積の比は、
ＢＤとＤＣの比に等しくなります。

問題に出されている図の中に、この基本パターンを見つけ出したり、
この基本パターンを当てはめるためには、どこに補助線を引いたら
いいのか、を考えると、より多くの問題が解けるようになります。
では、なぜ、三角形ＡＢＤ　と　三角形ＡＣＤ　の面積の比は、ＢＤとＤＣの
比に等しくなるのでしょうか。
これは皆さんよくご存知だと思いますが、下の図のように、点Ａを通り、ＢＣ
に平行な線を引きますと

三角形ＡＢＤ　と　三角形ＡＣＤ　は高さが同じ

であることが解ります。

ですから、三角形の面積は底辺の比に等しくなります。

　　パターン２

では、下の図ではどうでしょう。

三角形ＡＢＥ　と　三角形ＡＣＥ　の面積の比は、
ＢＤとＤＣの比に等しくなります。

大手塾のテキストによく出てくる図形です。
ではどうして三角形ＡＢＥ　と　三角形ＡＣＥ　の面積の比は、ＢＤとＤＣの
比に等しくなるのでしょう。
三角形ＡＢＥ　と　三角形ＡＣＥ　はＡＥが共通で、この辺が底辺になります。
つまり、この２つの三角形の面積比は、”高さ”に等しくなります。
ＢＤとＤＣの比がどうして、”高さ”の比に等しくなるのか考えてみましょう。
まず、下図のように、点Ｂ、Ｃを通り、ＡＤに平行な線をそれぞれ引きます。
つぎに三角形ＡＢＥ　と　三角形ＡＣＥ　の”高さ”になる直線を、点Ｄを通る
ように引きます。

すると次の図のように、黄土色と水色の三角形が相似の関係になり、その相似
比は

３：２

になります。

つまり、対応する”高さ”の辺の長さも、同じく３：２になるわけです。
ですから、ＢＤとＤＣの比は、”高さ”の比に等しくなり、三角形ＡＢＥ　と
三角形ＡＣＥ　の面積の比に等しくなるわけです。

　　パターン３

この図形の場合も覚えておくほうが良いでしょう。

三角ＡＢＣ　と　三角形ＡＣＤ　の面積の比は、ＢＥとＥＤの長さの比に等し
くなります。
理由はパターン２と全く同じです。
三角形ＡＢＣ　と　三角形ＡＣＤ　はＡＣが共通で、この辺が底辺になります。
パターン２と同様に、この２つの三角形の面積比は、”高さ”に等しくなります。
下図のように、点Ｂ、Ｄを通る、ＡＣに平行な直線をそれぞれ引きます。さらに
三角形ＡＢＣ　と　三角形ＡＣＤ　の高さになる直線を、点Ｅを通るように引き
ます。

赤色の三角形と青色の三角形は相似になり、その相似比は、３：２です。つまり、
三角形ＡＢＣ　と　三角形ＡＣＤ　の高さも、３：２になりますので、そこの２つの三

角形の面積比のも、２：３になります。

「基本を考えよう」、今回は「辺の比と面積比」でした。