今回の「基本を考えよう」は「場合の数」です。


■順列の問題

【問題１】

１～５までのカードがそれぞれ１枚ずつあります。その中から３枚
選んで３桁の数字を作ります。何通りできるでしょうか。


【解答・解説】

公式を知っていれば簡単に解ける問題です。

　　　５　×　４　×　３　＝　６０　(通り)

です。

早くて簡単に答が出せる便利な公式ですが、なぜ、このような公式で
答が出せるのか、きちんと理解していないと意味がありません。

「場合の数」の基本は樹形図です。樹形図を書いて確かめてみましょ
う。


まず、百の位が”１”の時について樹形図を書いてみます。

樹形図がきちんと書けるようになったら、次は、もっと簡単に答を
出せる方法はないか、その”形”に注目します。



１枚ずつ選んで、百の位から並べてゆくことを考えます。

　　○百の位・・・１～５のカードを選ぶことができるので、５通り

　　○十の位・・・百の位で１枚使い、４枚残っているので、４通り

　　○一の位・・・百、十の位でそれぞれ１枚ずつ使っていて、
　　　　　　　　　残っているカードは３枚なので、３通り

上図のように、百の位が”１”の時、十の位の数それぞれに一の位の
３通りがありますから、３×４＝１２(通り)になります。

さらに百の位は、１～５　の５通りありますから、これを５倍すると
全体の場合の数が求められます。

　　　３　×　４　×　５　＝　６０　(通り)


これは、順番が関係するので「順列」といいます。


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答．６０通り



■組み合わせの問題


【問題２】

青、赤、黄、緑、黒　の５個の玉が箱に入っています。この箱から
３個を同時に取り出す時、取り出し方は何通りでしょうか。


【解答・解説】

まず、順番が関係あるのか、ないのかを判断します。問題１は３桁の
数を作りますから、順番が関係あります。１２３と１３２は同じでは
なく、それぞれ１通りと数えます。

問題２は同時に取り出すので、順番は関係ありません。青、赤、黄でも
黄、赤、青でも、同じです。合わせて１通りです。

順番が関係ないものを「組み合わせ」といいます。組み合わせの問題も
公式を知ってるとすぐに答が出てしまいます。

分子の部分は、１つずつ、取り出して並べる場合の、場合の数です。

１つめを取り出すときは玉は５種類ありますから５通り、２つめは１つ
すでに取り出していますから、４通り、３つめは同様に３通り、これを
すべて掛け合わせると「順列」の場合の数がでてきます。

では、なぜ、順列の場合の数を、”３×２×１”でわると「組み合わせ」
の場合の数が出てくるのでしょうか。

生徒さんに聞くと「ダブってるから」と答えます。その通り「ダブって
るから」なのですが、「なんで、ダブってるのが３×２×１なの？」と
聞くと、答えられません。

では、ダブってるのがどういう数になるのか、考えてみましょう。


例えば、青、赤、黄の組み合わせで考えてみましょう。先に書いたよう
に、赤、黄、青　や　黄、青、赤　でも同じですべて合わせて１通りと
数えます。

つまり、順列の場合の数では、この部分がダブっているので、その数が
何通りあるか、樹形図を書いてみましょう。

青、赤、黄　という一つの組み合わせに、６通りの”ダブり”があるこ
とが解ります。

これは３つの玉の「順列」ですから、３×２×１でもとめらます。一つ
の組み合わせについて　３×２×１　通りダブっているので、これで割
ってあげればいいのです。

つまり、


青、赤、黄、緑、黒　の５個の玉が箱に入っています。この箱から
３個を同時に取り出す時、取り出し方は、

になります。


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答．１０通り


「場合の数」は樹形図を書きことが基本ですが、ただ、書いてるばかり
では、時間がかかってしまい、いい方法とは言えません。

樹形図を書くことに慣れたら、今度はそれをいかに簡単に計算式で出せ
るか、考えてみましょう。

今回の「基本を考えよう」は「場合の数」でした。