前回に引き続き、割り算の余りをテーマに話を進めます。
今回扱うのは、9で割ったときの余りです。

父：早速だけどこの問題、できるかな。

良夫：割り算なら得意。任せて頂戴。

（がんばって筆算中）

出たよ！余りは6だね。

父：正解！

良夫：そんな決まりがあったとは。
それじゃあ使ってみるね。
(2＋0＋0＋8＋2＋0＋2＋1）÷9
＝15÷9
＝1あまり6
よって余りは…やっぱり6だ。
便利な決まりだなあ…なんでこうなるの？？いつでも使える？
父：よくぞ言った、じゃあ研究タイム！！
良夫：しまった。
父：もう遅いわ。

良夫：はい、やってみます。

余りは必ず1になるね。1はどの位にあっても、9で割った余りは1なのか。
父：じゃあ次いってみよう。

良夫：はい、頑張ります。

割られる数がさっきの2倍だから、余りも2倍になるってことだね。
さっきと同じで、２はどの位にあっても９で割った余りは２になる。
ってことは…
各位の数を合計すると、各位が表す数をそれぞれ9で割った余りを寄せ集めたものになるね。
父：その調子だ！！それを9で割れば、
良夫：本体を9で割った余りが求められる！
これはおいしい！いつでも使える。
父：じゃあ、次の問題はどうじゃ。

良夫：ヒントないの？
父：この問題にヒントはついていない。
4けたの整数を9で割ったときの余りはチェックするのが大変そうだけど、
そこで登場するのが…
良夫：さっきの問題で出た「決まり」だね。
父：そう。4桁の整数を9で割った余りは、
良夫：各位の数の和を9で割った余りを求めればよい！
父：と、いうことは、
良夫：最低が2＋2＋2＋5で11、最高が5＋5＋8＋8の26だから、この範囲で考えると
9で割った余り＝5になるのは、
各位の和が14と23の2つの場合に絞られる。
14の作り方は、
2,2,2,8　→　並べ方＝4通り
2,2,5,5　→　並べ方＝6通り
23の作り方は
2,5,8,8　→　並べ方＝12通り
よって、
4＋6＋12＝22通り。
思ったより、楽に答えにたどり着いたね。
父：ところで、9の倍数になるための条件って、何だった？
良夫：各位の数字の和が3の倍数なら、その数は3の倍数で、
各位の数字の和が9の倍数なら、その数は9の倍数。
習ったから知ってるよ。
ちょっと待てよ。
さっきの「決まり」を使うと、今のは
「各位の数の和を9で割った余りが0なら、その数を9で割った余りも0」
って言い換えられるな。
今までは「決まり」のうち余り＝0のパターンだけを使っていたわけだ。
おいしいところだけ利用するっていうのは、一見効率はよさそうだけど、何かを失っているような気もする。
父：……
良夫：今回の「決まり」は、一度知っちゃったら後には戻れないね、便利すぎて（笑）

いかがでしたか。
今回の小技

は、知らなくても困ることはありませんが、特定の場面では重宝します。興味のある人はぜひ活用してください。