前回の場合の数の続編です。ちょっとした工夫で手間が激変する、そんな「小技」を紹介します。
父：まずは前回の問題を再確認するぞ。
【問題】
1,2,3,……,1000までの整数について、次の問いに答えなさい。
(1) 3で割り切れる数は、全部で何個ありますか。
(2) 3で割り切れる数を並べて書いていったとき、7という数字は全部で何回書くことになりますか。
（2020年 本郷中学校②）
（２）について、ここまで立てた作戦は次の２つだった。
作戦１
□□7
□７□
７□□
の3パターンに分けて、それぞれの3の倍数の個数を調べる。
作戦２
7の個数については、次のように場合分けします。
７が１個の数：□□7、□7□、7□□
７が２個の数：□77、7□7、77□
７が3個の数：777
□が７以外という条件で各パターンの個数を求める■
父：この２つのうち、注意力が必要なのはどっちだろうか。
良夫：作戦２かな。
父：ほほう。
良夫：「□が７以外という条件で」ってのは、1個1個書き出す作業を行う際に気が抜けない。
父：よい視点だ。
良夫：それに比べて作戦１は、各位の数の和＝３の倍数になるようにすればいいよね。
7を3で割った余りが1ということは、7以外の2桁の数の和が
3の倍数+２になることだけを考えればいいから、安心して作業ができる。
父：求めるのは7を含む整数の個数ではなく、7を書く回数だからな。
では、作戦１のうち、
７□□のパターンで表される3の倍数の個数を調べてもらおう。
良夫：やってみるね。
７□□のうち□□のところは、3の倍数+２だから、
小さい順に書き出すと、
02
05
08
11
14
17
…あれ、結局２から98になるね。
父：ってことは、
良夫：（98-2）÷3+1＝33個だ。
父：よし、順調だ。
次に、□□7のパターンを考えてみよう。
良夫：おう。百の位は０以外で…
父：ちょっと待った！
良夫：びくっ。
父：誰が「３桁」と決めたのだ。
良夫：いっけねえ。変なクセがついちまってた。1からってはっきり書いてあったわ。…待てよ、
百の位が０でもよいってことは、
父：ってことは？
良夫：調べる対象を1,2,3,……,1000までの整数から
001,002, 003,……,1000に言い換えてもいいよね。
そんでもって、ついでに000,001,002,…,999に変えてもいいんじゃない？
父：000は一応3の倍数だけど、7の個数には影響しないから、変えても正しい答えが出るな。
ところで、なんのために対象の範囲を変える？
良夫：そうすれば3桁の関係が対等になるよ。
父：なんで対等にこだわるわけ？
良夫：だって、そうすれば残りの
□□7
□７□
のパターンは、調べなくてよくなるし。
父：えっ？
良夫：今やった７□□の□□に入る数字を、そのまま□□7と□７□の2か所の□に配置すれば、条件を満たしてくれるじゃん。
だから、それぞれの位に出てくる７の個数の合計は
33×3＝99で出せるわけですよ。
父：自分に都合よく、探索範囲を言い換えたり、ずらしたり。よくもそんな考えが浮かぶものだな。
良夫：フフフ、いつも考えているのさ。物事がどうやったら楽になるかを。
父：…
いかがでしたか。今回の話をまとめます。
小技 各桁の「対等化」
①探索範囲に0をつける
1,2,3を001,002,003に置き換えて001も3桁とみなすと、各位の関係が対等になります。1桁の数、2桁の数の分類が不要になります。
②探索範囲の移動
「１から1000」を、「000から999」に置き換える。
求める個数に影響しない範囲で、スタートやゴールをずらすことによって
各位に出てくる数字の個数が完全に等しくなります。
今回はやや上級向けの内容になります。
この問題を作戦１または作戦２を用いて「正攻法で」解いてくれた人には、今回の解き方は簡単すぎて、威力が実感できたのではないでしょうか。
イメージとしては、スロットマシンのリール（数字や絵柄の書かれた回転する部分）で、同じものが３個ならんでいる状態です。
３桁が対等な感じがするでしょう。
こういった小手先のテクニックは、使える場面は限定されますが、ヒットすれば大いに役立ちます。
その場で思いつくのではなく、事前に仕込んでおくことで使える技術です。気に入った人はぜひ取り入れてください。
次回もお楽しみに。
