三角形を均等な幅に刻むと、面積は１，３，５，７…とあらわすことができる。

均等でない分割も、均等に刻み直すことで、均等切りの形に持ち込むことができる。

今回の材料はこの「均等切り」。

これをちょっとアレンジして、立体図形の回転体の問題に活用していきます。

まず回転体の確認から。

円柱ができました。体積は、底面積×高さですから、

１×１×３．１４×１＝３．１４ｃｍ^３

で

は最初の問題です。まずは軽く桜蔭中（Ｈ28より抜粋）から。

問題１

図のように1辺＝１ｃｍの正方形を配置し、直線ℓの周りを１回転してできる立体の体積を求めよ。

内側から順に、円柱、筒型、筒型の３個が組み合わさった立体ができていそうですね。

ここで、その３つの立体をずらすと…

はい、１つの大きな円柱ができました。

体積は３×３×３．１４×２＝５６．５２ｃｍ^３ですね。

 

えっ？これのどこが裏ワザかって…そうなんです。

ここからが裏ワザです。

まず、均等切りの面積比を少々アレンジします。

まずはこの問題。

問題２

半径が１，２，３，４，５の円を組み合わせてのような図を作りました。これをダーツ型と呼ぶことにします。

このダーツ型において、区切られた5つの部分の面積比を内側から順に答えなさい。

まず
５つの円は相似な図形ですから、三角形のときと同様に考えて

五つの円の面積比は、

１×１：２×２：３×３：４×４：５×５

＝１：４：９：１６：２５

となります。これを用いて、

円で仕切られた図形の面積比は、先ほどの１：４：９：１６：２５の隣同士の差を取って、内側から順に、

１：３：５：７：９…

やっぱり奇数が来た。

そして、次の問題。

問題３

正方形５枚を組み合わせた図のような図形を、１回転して得られる立体のうち、ア、イ、ウ、エ、オが通過する部分の体積比を求めなさい。

 

５つの部分は高さが等しいですね。ということは、

ア、イ、ウ、エ、オを回してできる立体の底面積を比べればよいわけです。

あれっ？さっきのダーツ型がア、イ、ウ、エ、オの底面になっているではないか。だとすると、体積比はもしかして…

やっぱり奇数が来る。

 

これを用いて

先ほど華麗に？解いた問題１を料理すると、

①内側から順に１，３，５…の奇数を書き込む

 

こうなります。

②数字の合計を求める。はい、１８です。

１にあたる体積が一番初めに求めた３．１４ｃｍ^３でしたから、求める体積は円柱の１８個分、すなわち

３．１４×１８

ということになります。

ということは、内側から順に１，３，５…の数字を書いて合計すれば、それ以外のことは何も考えなくて…

いいんです。

こんな問題もありますよ。東洋英和（Ｈ２４・Ａ日程）の問題です。

 

左のような図形を１回転してできる立体の体積を求めなさい。

下に飛び出した部分を、引っ込んだ部分に移し替えると…１つの円柱に、

なってませんからね。

危ない、危ない。軸からの距離が違うので、同じ立体になりません。出題者の仕込んだ罠に引っかかるところでした。

でも、私たちにとっては、そんなひっかけなどどこ吹く風。ひとたび裏ワザを手にしてしまったが最後、いやでもこんな風に見えてしまいます。

・正方形のマス目に分割

 

・内側から順に１，３，５，７を書き込む。

 

手が勝手動いて１，３，５…と数字が埋まり、合計＝８８が出て、

８８×３．１４で答えが「自動的に」出てしまう。

なぜ引っかからないか？それは、

何も考えてないからです。

今回も裏ワザの醍醐味、味わっていただけましたでしょうか。

回転体の問題は、実際にどんな立体になるかをしっかり考える力を見る材料として頻出です。（ここではその裏をかいくぐってしまいました）

しかも、体積のみ求めさせるケースが結構多いので、回転体の問題が出てきたら、「体積だけ」であることを願いましょう。体積だけなら、この裏ワザで瞬殺して、かなりの時間短縮につながるでしょう。

ではまとめです。

ダーツ型分割

正方形を組み合わせた図形の回転体の体積を求める問題において、

※使用上の注意

体積を求める問題に有効。表面積を聞かれたら、正攻法でお願いします。

それでは、また。