みなさん、こんにちは。
受験ドクターの坂井智則です。

今回も「整数の数え方」についてお話をしていきます。
整数の数え方　連続第3弾です。

今回は今年の入試問題で実際に出題された問題を使って考え方を深堀していきましょう。
麻布中学の大問３で出題された問題。こんな問題です。

5年生、6年生はぜひチャレンジしてみてください。考え方自体は、知っている知識で対応できると思います。
あとはいかに上手に集計できるかです。

(１)で0を含まない整数の個数を問われているので、(２)(３)を「0を含む場合」と「0を含まない場合」に着目した解法を連想できることができればスムーズに解けることが予想されます。
しかし、まずどんな方法でも自分で思いついた方法で試してください。それがどんなに手間がかかりそうな解法でも解き進めてみてください。その手間も、これからの皆さんの糧になることでしょう。

なお、【別解】は考察を含めた解法です。
整数の数え方の本質を学習するために、ぜひ読んで見てください。

(1)の考え方

条件を考えると0以外の2種類の数字のみで4桁の整数を作ることがわかると思います。

3個使う数字は1～9の9種類・・・・○に置くことができる数字の種類
1個使う数字は1～9の9種類から3個使う数字で使う数字を
除いた8種類・・・・△に置くことができる数字の種類

よって○と△は、　9×8＝72個

△が千の位、百の位、十の位、一の位に位置する
4通りあるので、　72×4＝288個　　　　　288個

(2)の考え方

0を含む場合と0を含まない場合の合計で
条件を満たす全ての整数の個数を求めていきます。

【0を含む場合】
0を1個含む場合（ア）と0を3個含む場合
で考えていきます。

0を1個含む場合、右図のように
9×3＝27個

0を3個含む場合は千の位に1～9までの数字が
置けるので　9個

27＋9＝36個　　　
よって、0を含め場合の整数の個数は　36個

【0を含まない場合】
(1)より、288個
　
したがって、　36＋288＝324　　　　　324個

（2）の【別解】
0を含む整数を考える必要があります。
0は千の位に位置することができません。
そこに注意しながら場合分けをして考えていきます。

㋐の場合
千の位に0を置くことができないため、
△は0以外の数字で1～9の9種類、
○は0を含む0～9の10種類の数字のうち
△で使った数字以外の9種類の数字が置けます。
したがって、9×9＝81通り

㋑㋒㋓の場合
千の位に0を置くことができないため、
○は1～9の9種類、
△は0～9の10種類の数字のうち
○で使った数字以外の9種類の数字が置けます。
したがって、9×9×3＝243通り

よって、81＋243＝324通り　　　　　　　　　　　　　324個

（1）からの流れで解くと（2）（3）は「0を含む」整数の個数を調べることに着眼点があるのですが、
それを利用せずに問題の条件を満たすすべての整数の個数を求める方法が【別解】です。
効率よく解くには（1）からの流れ（【別解】ではない考え方）で解く方法がよいでしょう。
しかし、冒頭でも述べましたが皆さんはいろいろな方法で考えてみてください。いろいろな考え方、たくさんの問題パターンを経験することが入試本番で最善の方法を選択できることにつながるはずです。

はい、今回はここまで。
（3）は次回に行います。

みなさん、また次回にお会いしましょう。