こんにちは。
受験Dr. の坂井です。
前回のV形の並べ方に引き続き、今回はW形の並べ方について考えていきましょう。
W形に並べるとはどんな並べ方なのか。
前回のV形と同様に、数の大きさが大きいほど下に位置し、上に行くほど小さくなるような並べ方です。
例えば、1～7の数でW形に並べると図1や図2に示すような並び方になります。
1から7までの数の中で最も大きい数が7ですから、7がW形の最も下に位置することになります。
図1ではW形の一番左は1ですが、これは1＜5だから1は5より小さい数なので5より上側に並べることができます。一番右の4も4＜7だから4は7より小さいので7より上側に並べることができます。
2と3については、5＞3＞2と上に位置するほど数の大きさが小さくなっていきます。
2と6についても、7＞6＞2と上に位置するほど数が小さくなっていきます。
一方、図3を見るとW形の右側が5＜3＜1までは上に位置するほど数が小さくなっていきますが、1より大きい2が1より上に並んでいるので、このように並べることはできません。
W形の並べ方のルールがわかったところで、いよいよこのようなW形の並べ方が何通りできるのかを考えていきましょう。
1から7までの数で並べる場合、W形の並べ方は下図の(ア)～(オ)のような5種類の形があります。
場合分けをしながら丁寧に集計していく必要があるため、やや難しいと思われますが
とても良い練習になります。じっくり取り組んでみてください。
今回は、これらのうち（ア）の形の並べ方について考えていきましょう。
(ア)について
1～7の中で7は最大の数だから、7の位置は
右の図１のPまたはQとなります。
7がPの位置にあるとき、6の位置は次の3通りです。
(ⅰ)～(ⅲ)のそれぞれについて、場合分けをしながら並べ方が何通りあるかを考えていきましょう。
(ⅰ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞の2通りです。
＜X＞と＜Y＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。
＜X＞について
a=2のとき、（b,c,d）=(3,4,5)または(4,3,5)の2通り
a=3のとき、（b,c,d）=(2,4,5)または(4,2,5)の2通り
a=4のとき、（b,c,d）=(2,3,5)または(3,2,5)の2通り
a=5のとき、（b,c,d）=(2,3,4)または(3,2,4)の2通り よって 2×4＝8通り になります。
＜Y＞について
aの位置に2を並べることができない（２より小さい１をbの位置に並べることができないから）ことに注意して、
a=3のとき、（b,c,d）=(2,4,5)の１通り
a=4のとき、（b,c,d）=(2,3,5)の１通り
a=5のとき、（b,c,d）=(2,3,4)の１通り よって 3通り になります。
したがって、(ⅰ)の場合は、 8＋3＝11通り になります。
(ⅱ)の場合
(ⅰ)と同様に、１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。
(ⅰ)と同様に、＜X＞＜Y＞＜Z＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。
＜X＞について
aの位置に5を並べることができない （5より大きい6または7をdの位置に並べることができないから)ことに注意して、
a=2のとき、（b,c,d）=(3,4,5)の１通り
a=3のとき、（b,c,d）=(2,4,5)の１通り
a=4のとき、（b,c,d）=(2,3,5)の１通り よって 3通り になります。
＜Y＞について
a=2のとき、（b,c,d）=(3,4,5)または(4,3,5)の2通り
a=3のとき、（b,c,d）=(2,4,5)または(4,2,5)の2通り
a=4のとき、（b,c,d）=(2,3,5)または(3,2,5)の2通り
a=5のとき、（b,c,d）=(2,3,4)または(3,2,4)の2通り よって 2×４＝8通り になります。
＜Z＞について
a=2のとき、（b,c,d）=(3,4,5)の１通り
a=3のとき、（b,c,d）=(2,4,5)の１通り
a=4のとき、（b,c,d）=(2,3,5)の１通り
a=5のとき、（b,c,d）=(2,3,4)の１通り よって 4通り になります。
したがって、(ⅱ)の場合は、 3＋8＋4＝15通り になります。
(ⅲ)の場合
(ⅰ)(ⅱ)と同様に、１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。
(ⅲ)も(ⅰ)(ⅱ)と同様に、＜X＞＜Y＞＜Z＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。
＜X＞について
a=2のとき、（b,c,d）=(4,5,3)または(4,5,3)の2通り
a=3のとき、（b,c,d）=(4,5,2)または(5,4,2)の2通り
a=4のとき、（b,c,d）=(3,5,2)または(5,3,2)の2通り
a=5のとき、（b,c,d）=(3,4,2)または(4,3,2)の2通り よって 2×4＝8通り になります。
＜Y＞について
a,b,c,dに2,3,4,5がどのように並んでも大丈夫。 よって 4×3×2×1＝24通り になります。
＜Z＞について
a=2のとき、（b,c,d）=(4,5,3)または(4,5,3)の2通り
a=3のとき、（b,c,d）=(4,5,2)または(5,4,2)の2通り
a=4のとき、（b,c,d）=(3,5,2)または(5,3,2)の2通り
a=5のとき、（b,c,d）=(3,4,2)または(4,3,2)の2通り よって 2×4＝8通り になります。
したがって、(ⅲ)の場合は、 8＋24＋8＝40通り になります。
(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より、W形の（ア）の並べ方については 11＋15＋40＝66通りとなります。
この66通りは最大の数である7が図１に示すPの位置にあるときであり、7はQの位置に並べることもできるので、 全部で 66×2＝132通り となります。
どうでしたか。なかなか大変な作業を要しますが、場合分けして丁寧に集計していけば
何とか求められるものです。
ポイントは、まず7の場所について場合分けをすることです。さらにそれにつながる6の場所が限定されるので6について場合分けをし、最後に最小の１について場合分けをして集計をしていくことです。一言で言えば、数の位置が限定できるものについて、場合分けをしていくということになります。(ア)～(オ)ついて取り組んでいけば、十分な練習ができると思います。
次回は、(イ)について考えていきます。是非、チャレンジしてみてください。
それではみなさん、
またお会いしましょう。
