こんにちは。
受験Dr.の坂井です。
Ｖ形、Ｗ形の並べ方についてのお話です。
この2つの並べ方は、考え方が異なるので違いを明確にするためにもセットで学習してほしいと思います。
まずはＶ形の並べ方について見ていきましょう。
Ｖ形に並べるというのはどんな並べ方なのか。それは、数の大きさが大きいほど下に位置し、上に行くほど小さくなるような並べ方です。
例えば、１～５までの数でＶの形に並べると図１や図２に示すような並び方になります。
1から５までの数で最も大きい数が５ですから、５がＶ形の最も下に位置することになります。
図１ではＶ形の左側は４ですが、これは４＜５だから４は５より小さい数なので５より上側に並べることができます。
Ｖ形の右側も５＜３＜２＜１と上に位置するほど数の大きさが小さくなっていきます。
一方、図３を見るとＶ形の左側が５＜３＜１までは上に位置するほど数が小さくなっていきますが、１より大きい２が1より上に並んでいるので、このように並べることはできません。
というわけで、Ｖ形の並べ方のルールはおわかりいただけたところで、このような並べ方が何通りできるのかを考えていきましょう。
【問題】
１～７までの数をＶ形に並べる方法は何通りありますか。
まず、どんなＶの形があるかを考えていきましょう。
Ｖの形は、次のような3通りが考えられます。この3通りに場合分けして並べ方がそれぞれ何通りあるかを見ていきます。
(ⅰ)の場合
Ｐには最も大きい数の７が入ります。Ｐの左側には１～６までの数のうち、どの数でも並べることができます。右側の数の並べ方は特に考える必要はありません。
なぜなら、左側に入る数が決まれば右側のＰを除く5個の数は自動的に決まってしまうからです。
例えば、Ｐの左側＝１であれば１と７を除いた残った数が６５４３２の順にＰの右側に並ぶことが自動的に決まってしまうのです。よって並べ方は全部でＰの左側＝１～６のときの６通りとなります。
そして下図のように左右逆の場合も考えられるので、６通り×２＝12通り となります。
(ⅱ)の場合
Ｐには最も大きい数の７が入ります。Ｐの左側の2個の数は7を除く１～６までの数のうち、2個の数が並ぶことになります。例えば、１＜２＜Ｐ、２＜５＜Ｐといったような並び方になります。この場合も左側の並び方が決まれば、右側には左側2個の数と７を除く残りの数が自動的に下側から大きい順に並ぶことになります。よって左側の並び方だけを考えればよいことになります。1から６までの数から2個の数を選ぶ組み合わせを考えればよいので、
15通りとなります。
また、左右逆のＶの形も考えると、15通り×２＝30通り となります。
(ⅲ)の場合
Ｐには最も大きい数の７が入ります。(ⅰ)(ⅱ)と同様にＰの左側の並べ方が決まれば自動的に右側の並び方も決まってしまいます。ですからこの場合もＰの左側の並び方だけを考えていきます。
7以外の1から６までの数のうち、Ｐの左側に並べる3個の数を選ぶ組み合わせを考えればよいわけです。
(ⅲ)の場合は、Ｖの形が左右対称となっているため、(ⅰ)(ⅱ)の場合のように、左右逆の場合を考える必要はありません。よって(ⅲ)の場合は20通り となります。
(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より
12＋30＋20＝62 62通り となります。
Ｖ形の並べ方は、Ｖの形で場合分けしていくことがポイントでした。
次回は Ｗ形の並べ方について見ていきます。
それではみなさん、
またお会いしましょう。
