こんにちは。
受験Dr. の坂井です。

今回も前回の続きのお話。
１~７までの数をW形に並べたとき、並べ方が何通りあるかを考えていきます。
W形の並べ方は次に示すように（ア）～（オ）の5種類の並べ方があります。

いま一度並べ方のルールについて確認しておきましょう。

 

【並べ方のルール】

隣接する数において、下に位置するほど大きく、上に位置するほど小さくなるように並べていきます。
1から7までの数の中で最も大きい数が7ですから、7がW形の最も下に位置することになります。
図1ではW形の一番左は1ですが、これは1＜5だから1は5より小さい数なので5より上側に並べることができます。一番右の4も4＜7だから4は7より小さいので7より上側に並べることができます。
2と3については、5＞3＞2と上に位置するほど数の大きさが小さくなっていきます。2と6についても、7＞6＞2と上に位置するほど数が小さくなっていきます。一方、図3を見るとW形の右側が5＜3＜1までは上に位置するほど数が小さくなっていきますが、1より大きい2が1より上に並んでいるので、このように並べることはできません。

W形の並べ方のルール確認ができたところで、いよいよこのようなW形の並べ方が何通りできるのかを考えていきましょう。

W形の並べ方（ア）～（オ）5種類のうち、前回は（ア）について考えました。
今回は、前回に引き続き（イ）の並べ方について考えていきましょう。

 

(イ)について

並べ方について調べていくときのポイントは（ア）のときと同様に
数の位置が限定できるものについて、場合分けをするという点です。

1～7の中で7は最大の数だから、7の位置は
右の図１のPまたはQとなります。

7がPの位置にあるとき、6の位置は次の2通りです。

（ⅰ）と（ⅱ）のそれぞれについて、場合分けをしながら並べ方が何通りあるかを考えていきましょう。

 

(ⅰ)の場合

１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

＜X＞と＜Y＞と＜Z＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。

＜X＞について
aの位置に5を並べることができない （5より大きい6または7をdの位置に並べることができないから)ことに注意して、
a=2のとき、（b,c,d）＝（3,4,5）
a=3のとき、（b,c,d）＝（2,4,5）
a=4のとき、（b,c,d）＝（2,3,5）　　　　　　　　　　　よって　1×3＝3通り　になります。

＜Y＞について
a=2のとき、（b,c,d）＝（3,4,5）
a=3のとき、（b,c,d）＝（2,4,5）
a=4のとき、（b,c,d）＝（2,3,5）
a=5のとき、（b,c,d）＝（2,3,4）　　　　　　　　　　　よって　1×4＝4通り　になります。

＜Z＞について
a=2のとき、（b,c,d）=(5,3,4)または(5,4,3)の2通り
a=3のとき、（b,c,d）=(5,2,4)または(5,4,2)の2通り
a=4のとき、（b,c,d）=(5,2,3)または(5,3,2)の2通り
a=5のとき、（b,c,d）=(4,2,3)または(4,3,2)の2通り　　　よって　2×4＝8通り　になります。
したがって、(ⅰ)の場合は、　3＋4+8＝15通り　になります。

 

(ⅱ)の場合

(ⅰ)と同様に、１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

＜X＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜ｂでもa＞ｂでもよい）
さらにaとb以外の残りの2つの数は、ｃ＜ｄになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとbの並び方（a＜ｂでもa＞ｂでもよい）だけを考えればよいということになるのです。

aとbの並び方：　4×3=12　　　　12通り

＜Y＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜ｂ）
aとb の数が決まれば、aとb以外の残りの2つの数は、ｃ＜ｄになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとｂの組合せ（a＜ｂ）だけを考えれば良いということになります。

aとbの組合せ：　4×3÷2＝6　　6通り

＜Z＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜ｂ）
aとb（a＜ｂ）が決まれば、残りの2つの数ｃとｄは自動的に決まります。

aとbの組合せ：　4×3÷2＝6

このとき、ｃとｄはｃ＞ｄでもｃ＜ｄでもよいので、　6×2=12　　12通り
したがって、(ⅱ)のときの場合は、12＋6＋12＝30通り　になります。

1～7までの数をW形の（イ）になるような並べ方は
7がPの位置にあるとき、（ⅰ）(ⅱ)より　15＋30＝45通り　となります。
７がQの位置にあるときも考えると　45×2＝90通り となります。

 

前回の（ア）の並べ方に続いて、（イ）の並べ方について考えてみましたが、慣れてきたでしょうか。

ポイントは（ア）について考えたときと同じく、
まず7の場所について場合分けをすることです。さらにそれにつながる6の場所が限定されるので6について場合分けをし、最後に最小の１について場合分けをして集計をしていくことです。一言で言えば、数の位置が限定できるものについて、場合分けをしていくということになります。

次回も引き続き、W形の並べ方5種類のうち、（ウ）について考えていきます。
本当に良い練習になると思うので、是非チャレンジしてみてください。

それではみなさん、
またお会いしましょう。