こんにちは。
受験Dr. の坂井です。

「V形　W形に並べてみよう」の第4弾です。
そのうち、W形についての並べ方について。今回も前回の続きのお話です。

１~７までの数をW形に並べたとき、並べ方が何通りあるかを考えていきます。
W形の並べ方は次に示すように（ア）～（オ）の5種類の並べ方があります。

今回も並べ方のルールについて確認するところから始めましょう。

 

【並べ方のルール】

隣接する数において、下に位置するほど大きく、上に位置するほど小さくなるように並べていきます。
1から7までの数の中で最も大きい数が7ですから、7がW形の最も下に位置することになります。
図1ではW形の一番左は1ですが、これは1＜5だから1は5より小さい数なので5より上側に並べることができます。一番右の4も4＜7だから4は7より小さいので7より上側に並べることができます。
2と3については、5＞3＞2と上に位置するほど数の大きさが小さくなっていきます。2と6についても、7＞6＞2と上に位置するほど数が小さくなっていきます。一方、図3を見るとW形の右側が5＜3＜1までは上に位置するほど数が小さくなっていきますが、1より大きい2が1より上に並んでいるので、このように並べることはできません。

以上が並べ方のルールでした。

W形の並べ方（ア）～（オ）5種類のうち、これまで（ア）(イ) について考えました。
今回は、引き続き（ウ）の並べ方について考えていきましょう。

 

(ウ)について

(ウ)については、（ア）（イ）が左右対称の形であるのに対し、図1、図2のような2種類の形があることに注意しましょう。
ただし、左右反対の図1、図2の並べ方については同じ通り数ですので、図1についてのみ調べていきます。

並べ方について調べていくときのポイントは（ア）（イ）のときと同様に
数の位置が限定できるものについて、場合分けをするという点です。

1～7の中で7は最大の数だから、7の位置は
右の図１のPまたはQとなります。

 

7がPの位置にあるとき

7がPの位置にあるとき、6の位置は次の2通りです。

（ⅰ）と（ⅱ）のそれぞれについて、場合分けをしながら並べ方が何通りあるかを考えていきましょう。

 

(ⅰ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞の2通りです。

＜X＞と＜Y＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。

 

＜X＞について
a＞b＞c＞d　になるなるような並べ方は

（a,b,c,d）= （5,4,3,2）のみ　　　　　　　　　　　　よって　1通り　になります。

 

＜Y＞について
aの位置に5を並べることができない （5より大きい6または7をbの位置に並べることができないから)ことに注意して、
a=2のとき、（b,c,d）＝（5,4,3）
a=3のとき、（b,c,d）＝（5,4,2）
a=4のとき、（b,c,d）＝（5,3,2）　　　　　　　　　　　よって　1×3＝3通り　になります。

したがって、(ⅰ)の場合は、　1＋3＝4通り　になります。

 

(ⅱ)の場合
(ⅰ)と同様に、１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

＜X＞と＜Y＞と＜Z＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。

 

＜X＞について
aの位置には2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。
aの位置に並べた数以外の残りの数は、b＞c＞dとなるように自動的に並び方が決まります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（5,4,3）
a=3のとき、（b,c,d）＝（5,4,2）
a=4のとき、（b,c,d）＝（5,3,2）
a=5のとき、（b,c,d）＝（4,3,2）　　　　　　　　　　よって　1×4＝4通り　になります。

 

＜Y＞について
＜X＞のときと同様に、
aの位置には2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。
aの位置に並べた数以外の残りの数は、b＞c＞dとなるように自動的に並び方が決まります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（5,4,3）
a=3のとき、（b,c,d）＝（5,4,2）
a=4のとき、（b,c,d）＝（5,3,2）
a=5のとき、（b,c,d）＝（4,3,2）　　　　　　　　　　よって　1×4＝4通り　になります。

 

＜Z＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜bでもa＞bでもよい）
さらにaとb以外の残りの2つの数は、ｃ＜ｄになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとbの並び方（a＜bでもa＞bでもよい）だけを考えればよいということになるのです。

aとbの並び方：　4×3=12　　　　12通り
したがって、(ⅱ)のときの場合は、4＋4＋12＝20通り　になります。
7がPの位置にあるとき、（ⅰ）（ⅱ）より　4＋20＝24通り　となります。

 

 

7がQの位置にあるとき

7がPの位置にあるとき、6の位置は次の2通りです。

（ⅰ）と（ⅱ）のそれぞれについて、場合分けをしながら並べ方が何通りあるかを考えていきましょう。

 

(ⅰ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

＜X＞と＜Y＞と＜Z＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。

 

＜X＞について
aの位置には2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。
aの位置に並べた数以外の残りの数は、b＞c＞dとなるように自動的に並び方が決まります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（5,4,3）
a=3のとき、（b,c,d）＝（5,4,2）
a=4のとき、（b,c,d）＝（5,3,2）
a=5のとき、（b,c,d）＝（4,3,2）　　　　　　　　　　よって　1×4＝4通り　になります。

 

＜Y＞について
＜X＞のときと同様に、
aの位置には2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。
aの位置に並べた数以外の残りの数は、b＞c＞dとなるように自動的に並び方が決まります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（5,4,3）
a=3のとき、（b,c,d）＝（5,4,2）
a=4のとき、（b,c,d）＝（5,3,2）
a=5のとき、（b,c,d）＝（4,3,2）　　　　　　　　　　よって　1×4＝4通り　になります。

 

＜Z＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜bでもa＞bでもよい）
さらにaとb以外の残りの2つの数は、ｃ＜ｄになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとbの並び方（a＜bでもa＞bでもよい）だけを考えればよいということになるのです。

aとbの並び方：　4×3=12　　　　12通り
したがって、(ⅰ)の場合は、　4＋4＋12＝20通り　になります。

 

(ⅱ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

 

＜X＞について

aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜b）
aとb の数が決まれば、a＜b以外の残りの2つの数は、c＞dになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、a＜bの組合せ（a＜b）だけを考えれば良いということになります。
aとbの組合せ：　4×3÷2＝6　　6通り

 

＜Y＞について
＜X＞と同様に考えます。
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＞b）
aとb の数が決まれば、a＞b以外の残りの2つの数は、c＞dになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、a＞bの組合せ（a＞b）だけを考えれば良いということになります。
aとbの組合せ：　4×3÷2＝6　　6通り

 

＜Z＞について
a=2のとき、（b,c,d）=(5,3,4)または(5,4,3)の2通り
a=3のとき、（b,c,d）=(5,2,4)または(5,4,2)の2通り
a=4のとき、（b,c,d）=(5,2,3)または(5,3,2)の2通り
a=5のとき、（b,c,d）=(4,2,3)または(4,3,2)の2通り　　　よって　2×4＝8通り　になります。

したがって、(ⅱ)の場合は、　6＋6＋8＝20通り　になります。
7がQの位置にあるとき、（ⅰ）（ⅱ）より　20＋20＝40通り　となります。

以上より7がP、Qにあるときを合わせて、24＋40＝64通り
そして、図1、図2が左右逆になっていることを考えて、64×2＝128通り　となります。

 

みなさん、お疲れ様でした。大変な作業でありますが慣れたら案外すっきり集計できるものです。
（エ）（オ）についても次回以降で扱っていきます。
本当に良い練習になると思うので、是非チャレンジしてみてください。

ポイントは、まず7の場所について場合分けをすることです。さらにそれにつながる6の場所が限定されるので6について場合分けをし、最後に最小の１について場合分けをして集計をしていくことです。一言で言えば、数の位置が限定できるものについて、場合分けをしていくということになります。

それではみなさん、
またお会いしましょう。