こんにちは。
受験Dr. の坂井です。

「V形　W形に並べてみよう」の第6弾。
そのうち、W形についての並べ方について、いよいよ最終話です。

１~７までの数をW形に並べたとき、並べ方が何通りあるかを考えていきます。
W形の並べ方は次に示すように（ア）～（オ）の5種類の並べ方があります。

並べ方のルールにつきましては、こちらよりご確認ください。

 

W形の並べ方（ア）～（オ）5種類のうち、これまで（ア）（イ）（ウ）（エ）について考えました。
今回は、いよいよ最後、（オ）の並べ方について考えていきましょう。

 

(オ)については、図1、図2のような2種類の形があることに注意しましょう。
ただし、左右反対の図1、図2の並べ方については同じ通り数ですので、図1についてのみ調べていきます。

並べ方について調べていくときのポイントは（ア）～（エ）の並べ方について調べたときと同様に
数の位置が限定できるものについて、場合分けをするという点です。

1～7の中で7は最大の数だから、7の位置は
右の図のPまたはQとなります。

 

7がPの位置にあるとき

7がPの位置にあるとき、6の位置は次の2通りです。

（ⅰ）と（ⅱ）のそれぞれについて、場合分けをしながら並べ方が何通りあるかを考えていきましょう。

 

(ⅰ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞の2通りです。

＜X＞と＜Y＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。

 

＜X＞について
aの位置には5しか並べることができません。
b =2のとき、（a,c,d）＝（5,4,3）
b =3のとき、（a,c,d）＝（5,4,2）
b =4のとき、（a,c,d）＝（5,3,2）　　　　　　　　　　　よって　1×3＝3通り　になります。

＜Y＞について
Xと同様に、aの位置には5しか並べることができません。
b =2のとき、（a,c,d）＝（5,4,3）
b =3のとき、（a,c,d）＝（5,4,2）
b =4のとき、（a,c,d）＝（5,3,2）　　　　　　　　　　　よって　1×3＝3通り　になります。

したがって、(ⅰ)の場合は、　3＋3＝6通り　になります。

 

(ⅱ)の場合
(ⅰ)と同様に、１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

＜X＞と＜Y＞と＜Z＞の場合について、a～dの並べ方についてみていきましょう。

＜X＞について
aとbは2、3、4、5のうち、a＞bとなるように並べることができます。aとbの並べ方が決まれば
cとdは、aとb以外の残りの2つの数でc＞dとなるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとb（a＞b）の並び方だけを考えればよいということになります。
aとb（a＞b）の並び方：4×3÷2＝6通り

＜Y＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜bでもa＞bでもよい）
さらにaとb以外の残りの2つの数は、c＞dになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとbの並び方（a＜bでもa＞bでもよい）だけを考えればよいということになるのです。

aとbの並び方：　4×3=12　　　12通り

＜Z＞について
＜Y＞と同様にaとbの並び方だけを考えればよいので、
aとbの並び方：　4×3=12　　　12通り

したがって、(ⅱ)のときの場合は、6＋12＋12＝30通り　になります。
7がPの位置にあるとき、（ⅰ）（ⅱ）より　6＋30＝36通り　となります。

 

7がQの位置にあるとき

7がQの位置にあるとき、6の位置は次の3通りです。

（ⅰ）～（ⅲ）のそれぞれについて、場合分けをしながら並べ方が何通りあるかを考えていきましょう。

 

(ⅰ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

＜X＞について
aとbは2、3、4、5のうち、a＞bとなるように並べることができます。aとbの並べ方が決まれば
cとdは、aとb以外の残りの2つの数でc＞dとなるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとb（a＞b）の並び方だけを考えればよいということになります。
aとb（a＞b）の並び方：4×3÷2＝6通り

＜Y＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜bでもa＞bでもよい）
さらにaとb以外の残りの2つの数は、c＞dになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとbの並び方（a＜bでもa＞bでもよい）だけを考えればよいということになるのです。
aとbの並び方：　4×3=12　　　12通り

＜Z＞について
＜Y＞と同様にaとbの並び方だけを考えればよいので、
aとbの並び方：　4×3=12　　　12通り

したがって(ⅰ)の場合は、6＋12＋12＝30通り

 

(ⅱ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

＜X＞について
aとbは2、3、4、5のうち、a＞bとなるように並べることができます。aとbの並べ方が決まれば
cとdは、aとb以外の残りの2つの数でc＞dとなるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとb（a＞b）の並び方だけを考えればよいということになります。
aとb（a＞b）の並び方：4×3÷2＝6通り

＜Y＞について
＜X＞と同様にaとbは2、3、4、5のうち、a＞bとなるように並べることができます。aとbの並べ方が決まればcとdは、aとb以外の残りの2つの数でc＞dとなるように自動的に並び方が決まります。すなわち、aとb（a＞b）の並び方だけを考えればよいということになります。
aとb（a＞b）の並び方：4×3÷2＝6通り

＜Z＞について
aは2、3、4、5のうち、どの数でも並べることができます。
aの位置に並べた数以外の残りの数の並べ方を、dが最大であることに注意して
考えてみると次のようになります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（3,4,5）（4,3,5）
a=3のとき、（b,c,d）＝（2,4,5）（4,2,5）
a=4のとき、（b,c,d）＝（2,3,5）（3,2,5）
a=5のとき、（b,c,d）＝（2,3,4）（3,2,4）　　　　　よって　2×4＝8通り　になります。
したがって、(ⅱ)の場合は、6＋6＋8＝20通り　になります。

 

(ⅲ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。

＜X＞について
aには2、3、4、5のうち、どの数でも並べることができます。
aの位置に並べた数以外の残りの数の並べ方を、c が最小であることに注意して
考えてみると次のようになります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（4,3,5）（5,3,4）
a=3のとき、（b,c,d）＝（4,2,5）（5,2,4）
a=4のとき、（b,c,d）＝（3,2,5）（5,2,3）
a=5のとき、（b,c,d）＝（3,2,4）（4,2,3）　　　　　よって　2×4＝8通り　になります。

＜Y＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜bでもa＞bでもよい）
さらにaとb以外の残りの2つの数は、c＞dになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとbの並び方（a＜bでもa＞bでもよい）だけを考えればよいということになるのです。
aとbの並び方：　4×3=12　　　12通り

＜Z＞について
aには2、3、4を並べることができます。（aに5を並べることはできないことに注意しましょう）
aに並べる数について場合分けしてみていきます。
cが最小であることに注意すると次のようになります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（4,3,5）（5,3,4）
a=3のとき、（b,c,d）＝（4,2,5）（5,2,4）
a=4のとき、（b,c,d）＝（5,2,3）　　　　　　　　　よって　5通り　になります。

したがって、(ⅲ)の場合は、8＋12＋5＝25通り　になります。

7がQの位置にあるとき、（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）より　30＋20＋25＝75通り　となります。

以上より7がP、Qにあるときを合わせて、36＋75＝111通り
そして、図1、図2が左右逆になっていることを考えて、111×2＝222通り　となります。

 

みなさん、お疲れ様でした。これで「V形　W形に並べてみよう」シリーズのお話は終了です。
最後にポイントをもう一度お伝えします。

ポイントは、まず7の場所について場合分けをすることです。さらにそれにつながる6の場所が限定されるので6について場合分けをし、最後に最小の１について場合分けをして集計をしていくことです。一言で言えば、数の位置が限定できるものについて、場合分けをしていくということになります。

それではみなさん、
またお会いしましょう。