課題、第2弾は、立体図形です。

今年の品川女子学院中(2回）で出題された、ユニークな立体図形問題を紹介いたします。

底面が１辺２０cmの正方形で深さが６cmの直方体の容器に、半径３cmの球を入れます。この球が容器の中を浮かないように自由に転がるとします。ただし、容器の厚さは考えないこととし、円周率は３．１４とします。

（１）この球が触れることのできる容器の底面の部分の面積は何㎠ですか。

（２）この球が通ることのできる部分の体積は何㎤ですか。なおこの球の体積は１１３．０４㎤とします。

円を転がす問題は良く見かけますが、「球を転がす」問題は経験がなく、えっ！？とビビッてしまった人もいるのではないでしょうか。

しかし、実はよく観察し見てみると、基本的な考え方は円を転がした時と全く同じなのです。

 

（１）　この球が触れることのできる容器の底面の範囲は、下図のオレンジ部分の正方形になります。真上からみたらどのようになるのか常に考えましょう。

 

 

この正方形の１辺の長さは、２０－３×２＝１４　なので、よって　14×14＝196（㎠）　　A、196㎠

 

 

（２）　球を容器の側面とぶつかるところまで動かしてみると、

 

 

上図のように、①～③の3か所に分けて体積を考えることができます。

 

 

 

 

 

 

 

・①は、

 

14×14×6＝1176㎤

 

 

 

 

 

・②の部分の体積は、円柱の半分が4つできることになるので、

×２

 

よって、これらを組み合わせると、

3×3×3.14×14×2＝791.28㎤

 

 

 

 

 

 

・③の部分の体積は、

球を4つに分けた図形が4つできることになるので、ちょうど球になります。

 

 

 

ということは、問題文の中より、その体積は113.04㎤。以上から、球が通ることのできる体積は、①～③を加えて、

1176＋791.28＋113.04＝2080.32㎤

 

どうでしょうか。円を転がす問題は平面上では、何度も解いたことがあったかもしれませんが、球になった時も実は同じだということがわかりましたか？常に、問題を解く時、わからない未知なものがでてきた！とびっくりするのではなく、自分の知っている知識で何か使えるものはないか、という意識で問題と向き合うようにしてみてくださいね。慌てることはないのです。知っていることをどう使うかという思考回路にしていきましょう！