皆さま、こんにちは！
５月６日に「プレゼント交換」の問題について書きました。
次のような問題でしたね。
誰もが他人のプレゼントをもらうような交換の仕方は何通りありますか？
前回も書いたように、この問題を説明するのはけっこう大変なんです。
そこで、まずは次のような問題を考えてみてください、というところで前回は終わりました。
この階段をいちばん上まで上がるのに、1歩で1段、
または1歩で2段のどちらかの方法で上がります。
階段の上がり方は全部で何通りありますか。
これは中学受験算数の入試ではとても有名な問題です。
受験ドクターの根本原理では、実践編２４６番のカードに出てきますよ！
では、さっそくこの問題の解説から今回は始めましょう。
「場合の数」を解くうえで、とても大切な考え方が出てきます。
それが何かを意識しながら、読んでみてください。
まず、この階段上りの問題を見て「あー、フィボナッチ数列でしょ！」と即答できる人はよく勉強しています。
お子様がすぐにわかるようでしたら、誉めてあげてくださいね！
フィボナッチ数列というのは、
１、１、２、３、５、８、１３、２１、３４、５５、８９ …
というように、前の２つの数の和が次の数になる数列です。
先ほどの問題のような、「１歩で１段or ２段」で階段を上がる方法というのは、
１段の場合は１通り、２段の場合は２通り、３段の場合は３通り、４段の場合は５通り、５段の場合は８通り…
というようにフィボナッチ数列が答えとして現れます。
ですから、６段の場合の答えは、１３通りが正解です。
ではなぜ、答えがフィボナッチ数列になるのでしょう？
それがきちんと説明できますか？
まず、階段が１段しかない場合と、２段しかない場合を考えてみましょう。
すると、次のようになります。
ここまでは簡単ですね。
問題は、３段のときをどう考えるかです。
地道に数えても３通りとわかるのですが、でもそれだと、もっと段数が増えたときに困ります。
そこで、次のように考えてみます。
わかりますか？
ポイントは、「最初の選択」で場合分けしていることです。
最初に「１段」を選択した場合は、残りは２段です。
最初に「２段」を選択した場合は、残りは１段です。
ですから、残り２段の２通りと、残り１段の１通りを足して、３段の上がり方は３通りと考えるのです。
これが理解できると、あとは何段になっても、これを続けていけばいいとわかります。
階段が４段あるなら、
最初に「１段」を選択した場合は、残りは３段で３通り
最初に「２段」を選択した場合は、残りは２段で２通り
と考えて、３＋２＝５通りです。
階段が５段あるなら、
最初に「１段」を選択した場合は、残りは４段で５通り
最初に「２段」を選択した場合は、残りは３段で３通り
と考えて、５＋３＝８通りです。
必ず直前の２つの答えを足して、次の答えが出てきます。
フィボナッチ数列ですよね？
わかってしまえばこれだけではあるのですが、ではこの問題のポイントはどこにあるでしょう？
それは、「場合分け」です。
「場合の数」の難しい問題では、適切に「場合分け」ができるかが勝負のカギを握ります。
「場合分け」をうまくできるかで、問題が簡単にも難しくもなりますね。
しかも、適切な「場合分け」というのが、必ずしも自分にとってわかりやすい「場合分け」とも限りません。
経験やセンスが必要な部分もあるので、ここが「場合の数」の学習で一番大変なところです。
見事な「場合分け」の仕方を色々と学んで、自分の中に取り入れていくことが大切になりますね。
階段上りの問題の場合は、最初の選択が「１段」か「２段」かで「場合分け」したのが素晴らしい発想でした。
さて、ではここからは、いよいよ「プレゼント交換」の問題を考えてみましょう。
先ほどの階段上りの問題と、いったいどんな関係があるでしょうか？
まず最初に、「プレゼント交換」を２人～７人で行った場合の答えを発表します。
答えは以下のようになります。
２人の場合→ １通り
３人の場合→ ２通り
４人の場合→ ９通り
５人の場合→ ４４通り
６人の場合→ ２６５通り
７人の場合→１８５４通り
４人の場合は、前回樹形図を書いて考えましたね。
そして、６人の場合の答えは２６５通りが正解です。
中学入試でも、この結果だけは覚えるように教えている塾もあるようですね。
しかし、人数が増えていくと、急激に数が増えて行きますね。
ではこの数字を見て、どんな規則性があるかわかりますか？
もしこの規則性を見抜けたら、数のセンスがかなり高い方です。
ヒントはフィボナッチ数列なのですが…
実はこの数列には次のような規則性があります。
４人の場合から順に行くと、
４人の場合→ （ １＋ ２）×３＝ ９
５人の場合→ （ ２＋ ９）×４＝ ４４
６人の場合→ （ ９＋ ４４）×５＝ ２６５
７人の場合→ （４４＋２６５）×６＝１８５４
わかりますか？
フィボナッチ数列と同じで、前のかっこの中が直前の答えの２つの数の和になっていますね。
しかし、フィボナッチ数列と違うのは、その後に数をかけていることです。
しかも、その数は（人数－１）になっています。
これはいったいどういう意味なのでしょう？
さあ、ここからが「プレゼント交換」の問題の解説です。
ポイントは「場合分け」です！
しかも、今回は２段階で「場合分け」をするのです。
４人での「プレゼント交換」で考えてみましょう。
まず、A、B、C、Dの４人がいて、それぞれが持ってきたプレゼントがa、ｂ、ｃ、ｄとします。
そして、まずAがbをもらったとします。
これが「場合分け」の第1弾です。
すると、残りの状況は以下のようになりますね。
ここで「場合分け」の第２弾です！
Bがaをもらうかもらわないか、でさらに「場合分け」するのです。
まず、Bがaをもらったとします。
すると、以下のようになりますね。
AとBの２人で交換したことになるので、あとはCとDで交換するしかありません。
ということは、Aがbをもらい、Bがaをもらわない場合は、２人で交換する場合の、１通りと同じです。
次に、Bがaをもらわない場合を考えます。
すると、状況としては３人で交換する場合と同じになります。
この意味がわかりますか？
ここがこの問題の最大のポイントです！
昔、初めてこの問題の解説を読んだとき、ここを理解するのに僕は１時間くらい考えました…
すぐに納得いかなくても大丈夫なので、落ち着いて考えてみてください。
Bがaをもらってはいけないと考えるなら、それはBの立場とAの立場を入れ替えることと同じです。
aとｂのプレゼントの方を入れ替えると考えても良いです。
いずれにしても、３人で交換するのと同じことになります。
ですから、Aがｂをもらい、Bがaをもらわない場合は、３人で交換する場合の２通りと同じなのです。
ここまでが理解できると、Aがbをもらう場合については、１通り＋２通りで３通りになることがわかります。
ここが、フィボナッチ数列と同じ部分ですね。
そして、Aがｃをもらう場合も、Aがｄをもらう場合も、まったく同じように考えて、それぞれ３通りあります。
ここが、（人数－１）になる部分です。
Aがaをもらう場合はそもそも考えないので、その分が－１なのですね。
ですから、４人で「プレゼント交換」する場合の答えは、３通り×３通り＝９通りと求まるのです。
わかりましたか？
これが理解できれば、５人の場合も同様です。
まず、Aがｂをもらう場合を考えます。
そして、Bがaをもらう場合は、３人の場合と同じで２通り。
さらに、Bがaをもらわない場合は、４人の場合と同じで９通り。
よって、Aがbをもらう場合は、あわせて１１通りです。
Aがcをもらう場合も、dをもらう場合も、eをもらう場合も、同様に１１通りです。
ですので、１１通り×４通りで４４通りが答えになるのです。
６人なら、同様に考えて
（９＋４４）×５＝２６５
となるので、答えは２６５通りになります。
いかがでしたか？
最後はちょっと難しかったでしょうか？
「プレゼント交換」の問題を公式化するなら、
（直前の２つの答えの和）×（人数－１）
となりますね。
高校数学なら、
という形で表現します。
もちろん、こんなことまで小学生が理解する必要はありません。
ただ、「場合の数」は中学でも高校でもやりますし、大学入試でも必須だということは知っておいてください。
ということで、今回は以上です。
難しいところもあったかもしれませんが、お伝えしたかったことは、「場合分け」の重要性です。
そして、「場合分け」がうまくなりたいなら、見事な「場合分け」の方法に触れてください、ということです。
「場合の数」は中学受験の算数でも重要分野です。
難関中学の入試問題では、高校生でも苦戦するような問題が出題されたりもします。
ぜひ、難しい問題でもあきらめずに取り組んでみてください！
