第２回 調べる作業を効率的に行う
今後の目次
第２回 調べる作業を効率的に行う ← 今週はココ！
第３回 図形問題に強くなる①（円とおうぎ形）
第４回 図形問題に強くなる②（相似の発見）
今回は前回に引き続き、「②解答にたどり着くまでの作業量が膨大で、効率良い解き方が見つかりにくく難しい。」を解決するポイントを、お子様に身につけさせましょう！
ポイントが身につく問題実践講座
問題
６個の異なる整数があります。
これらの６個の整数の和は365で、６個の整数のうち、最も大きい数は65です。
このとき、最も小さい数として考えられるもののうち最小の数はいくつですか。
（2000算数オリンピックトライアル問題）
【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。
どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
問題文の意味がまずわからない。
意味はわかるけれども、どこからどうやって手をつければよいかわからない。
調べていくところが正確にできない。
そういう様々な課題にこそ難問攻略のためのポイントが有効です。
今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、その中から「効率よく調べていくためのポイント」を２つご紹介します。
今回使うポイント
- 条件を満たすものが見つかったか自信が持てない
⇒【ポイントNo.６】「最小・最大から調べていく」 - 効率良く調べていきたい
⇒【ポイントNo.７】「条件の裏を読み取る」
【ポイントNo.６】「最小・最大から調べていく」
前回、数字を調べていくときには「制約の多い」０や９から考えていくと良い、というポイントを説明しました。
今回のような問題でも、条件に合わせて調べていくことで、求めた答えが必ず条件を満たすことが決まってきます。
条件を満たす最小の数を答えるのであれば、最も小さい数である１から調べていきます。
そうすることで、条件を満たす数が出た瞬間にそれが「条件を満たす最小の数」であることが決まり、それ以上調べる必要はありません。
逆に、最大の数を求める場合は最も大きい数から順に調べていくことで求めることができます。
6個のうち最小の数が１であるとします。
問題文の条件から、
１＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋65＝365
⇒Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝365－（１＋65）＝299
１＜Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ＜65
では、上の条件を満たすＡ～Ｄはあるでしょうか？
いくつか調べてみましょう。
２＋３＋４＋Ｄ Ｄ＝250 Ｄが65より大きくなるので×
Ａ＋62＋63＋64 Ａ＝110 ＡがＢより大きくなるので×
結局、１が最小のとき条件を満たす数の組合せはありません。
【ポイントNo.７】「条件の裏を読み取る」
先ほどは、６個のうち最も小さい数が１の場合を調べました。
以下同様に最も小さい数が２の場合、３の場合……、と調べていけば良いのですが、それでは答えが見つかるまでにかなり時間がかかってしまいます。
何か良い調べ方はないでしょうか？
そこで問題文の条件の「裏」を考えてみます。
６個のうち最も小さい数が最小になる、そして
65以外の5個の数の合計は必ず300になる（和が一定）
ということがわかっています。
このことから、最も小さい数ではなく、それ以外の４個に目を向けてみましょう。
最も小さい数が最小になる＝残り４個の和が最大になる
ということに気づけたでしょうか。
5個の和が決まっているので、片方を最小にしたければ残りを最大にすれば良い、ということです。
そうすると、Ａ～Ｄの４個の数は65より小さく全て異なるという条件から、
Ｄ＝64、Ｃ＝63、Ｂ＝62、Ａ＝61
のとき４個の和が最大になります。
このときの最も小さい数は、300－（64＋63＋62＋61）で求めることができます。
【正解】
５０
開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う
問題 開成中学校 2003 大問２（3）
トランプの13枚のクラブ（♣）のカードを使って、４人で次のようなゲームをします。
「この13枚のカードから４人が同時に１枚ずつカードを取り出し、ある人の得点を他の３人の選んだカードの数の合計とする。」
ただし、エース（♣Ａ）は１点、絵札のジャック（♣Ｊ）、クイーン（♣Ｑ）、キング（♣Ｋ）はそれぞれ11点、12点、13点として計算し、得点の多い方から順に１位、２位、３位、４位の順を付けます。
（3）４人の誰もがエースを取り出さず、１位の人の得点が15点であったとき、２位、３位、４位の人の得点はそれぞれ何点になりますか。
考えられるすべての場合を答えなさい。
【解説】
１位の人が引いた数字をＡ
２位の人が引いた数字をＢ
３位の人が引いた数字をＣ
４位の人が引いた数字をＤ
とします。
大きさは、Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄとなります。
いま、１位の人の得点が15点なので、Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝15になります。
Ｄが最も大きい数になるので、Ｄ＝13のときから考えていきます。←ポイントNo.６
Ｄ＝13のとき、Ｂ＋Ｃ＝２
Ｂ，Ｃは２以上の異なる整数なので、条件を満たす数はありません。
ここで、Ａは最も小さくて２である、という条件の裏を考えます。
誰もエースを引いていないので、Ａは最も小さくて２
そのとき、Ｂは最も小さくて３、Ｃは最も小さくて４になります。
ということは、Ｄは最も大きくて、15－（３＋４）＝８になりますので、
Ｄは８から順に調べていけばよいことがわかります。←ポイントNo.７
Ｄ＝８のとき、Ｃ＝４、Ｂ＝３、Ａ＝２しかありません。
Ｄ＝７のとき、Ｂ＋Ｃ＝８より、
Ｃ＝５、Ｂ＝３、Ａ＝２が考えられます。
Ｄ＝６のとき、Ｂ＋Ｃ＝９より、
Ｃ＝５、Ｂ＝４、Ａ＝３とＣ＝５、Ｂ＝４、Ａ＝２
Ｄ＝５のとき、Ｂ＋Ｃ＝10となりますが、条件を満たすＢ、Ｃはありません。
よってここで調べるのは終了です。
答えるのは１位～４位の得点になりますので、表にまとめると
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | １位 | ２位 | ３位 | ４位 | |
| 2 | 3 | 4 | 8 | 15 | 14 | 13 | 9 | |
| 2 | 3 | 5 | 7 | 15 | 14 | 12 | 10 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 15 | 14 | 13 | 12 | |
| 2 | 4 | 5 | 6 | 15 | 13 | 12 | 11 |
以上４通りになります。
前回のチャレンジ問題の答え
１から５までの数字を１個ずつ使った５けたの整数３２１５４は、どの連続する２けたをとっても、３２＝４×８、２１＝３×７、１５＝３×５、５４＝６×９のように、九九の答えの数字になります。１から９までの数字を１個ずつ使った９けたの整数のうち、このような性質を持つ整数を答えなさい。
（２０１５算数オリンピックトライアル問題）
※解答解説は次回掲載いたします。
【解説】
まずは、九九の答えのうち、２ケタで十の位と一の位が異なり、０が使われていないものを書き出します。
| 12、14、15、16、18 |
| 21、24、25、27、28 |
| 32、35、36 |
| 42、45、48、49 |
| 54、56 |
| 63、64 |
| 72 |
| 81 |
まずは１回しか出てこない「９」を考えます。
９が使われた答えは49だけです。したがって、９けたの一番右の数が９になります。（○○○○○○○４９）
次に少ない数字は「７」です。
７が使われた答えは27と72です。どちらになるでしょうか？
もし27が入るとすると、7に続くものがありません。
したがって、７は72の形で使われ、９けたの一番左になります。
（７２○○○○○４９）
残りの数字は１、３、５、６、８です。
これらの数でできる九九の答えを書き出すと、
| 15、16、18 |
| 35、36 |
| 32、35、36 |
| 56 |
| 63 |
| 81 |
ここで、８は18か81しかありませんので、この５つを並べたとき左はしか右はしにくることになります。
８１○○○の場合
８１５６３と８１６３５の２種類考えられます。
○○○１８の場合
○１となる81以外の答えがありません。
これで８１５６３と８１６３５の２つまで絞られました。
このうち、７２○○○○○４９に入れてつながるものを見つけます。
７２８１５６３４９ ⇒34は九九の答えにないので×
７２８１６３５４９ ⇒全て九九の答えになっているので○
よって答えは７２８１６３５４９です。
今日のポイントを使って問題にチャレンジ！
問題
下の図のように、番号のついたいろいろな大きさの円柱があります。
１の円柱の底面の半径は２㎝で、番号が１つ増えるごとに底面の半径は、前の番号の円柱の半径の２倍になっています。
円柱の高さはすべて３㎝です。これらの円柱の何個かを積み重ねて新しい立体を作ろうと思います。
ただし、円柱の底面の円の中心どうしが重なるように積み重ねます。
＜図１＞のように３の上に２、２の上に１を積み重ねた立体を〔３ ２ １〕、
＜図２＞のように３の上に４を積み重ねた立体を〔３ ４〕
のように表すことにします。
このとき、立体〔３ ２ １〕と立体〔１ ２ ３〕は同じ立体となります。
１、２、３、４、５の円柱を１つずつ使って立体を作ります。
立体〔５ ４ ３ ２ １〕と同じ表面積になる〔５ ４ ３ ２ １〕以外の立体を全て答えなさい。
解答は、〔アイウエオ〕のように答えますがアはオより大きいものとします。
（２０１５ 桜蔭中Ⅳ（３））
