第４回 図形問題に強くなる②（相似の発見）
今後の目次
第４回 図形問題に強くなる②（相似の発見） ← 今週はココ！
第５回 図形問題に強くなる③（図形の移動）
第６回 規則性に強くなる
前回から図形問題を取り上げており、前回は円とおうぎ形を含む図形を題材に、補助線の効果的な引き方について説明いたしました。
今回は、三角形・四角形・六角形を中心に「どのように相似形を見つけ、どう活用していくか」を説明してまいります。
前回も述べましたが、図形問題は問題文の代わりに図が与えられており情報量が少なく、自分で補助線を引いたりしていく必要があるため、難易度が高くなるとお手上げというお子様もとても多いです。
まさに③問題に条件（ヒント）が少なく、どう進めていいかわからないので難しいので難しい単元です。
それでは、この「③問題に条件（ヒント）が少なく、どう進めていいかわからないので難しい。」を解決するポイントを、お子様に身につけさせましょう！
ポイントが身につく問題実践講座
問題
図のような五角形ＡＢＣＤＥがあり、角ＢＡＥ＝90°、ＡＰ＝10㎝、ＰＥ＝８㎝、ＡＢ＝3.9㎝、ＰＱ＝5.5㎝、ＰＱとＣＥは平行、ＢＲ：ＲＤ＝５：８、ＰＲ：ＲＣ＝３：５、ＱＳ＝ＳＤ、ＣＳ＝16.5㎝になっています。
※ただし、図は正確とは限りません。
（１）ＡＱとＱＤの比をできるだけ簡単な整数の比で答えなさい。
（２）角ＱＲＳは何度になるか答えなさい。
（３）三角形ＱＲＳの面積を求めなさい。
（2012算数オリンピックファイナル問題 改題）
【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。
どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
今回は（３）を答えるためのヒントを（１）（２）で求められたかがポイントです。
（１）を解くための条件を選べたでしょうか？
（２）を解くために必要な相似形は見えたでしょうか？
難しそうな図形の問題こそ、ポイントに基づいて解いていくことができます。
今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、その中から「効率よく調べていくためのポイント」を2つご紹介します。
今回使うポイント
- どこから手をつけるとよいかわからない
⇒【ポイントNo.１０】「直線上の３つの比に注目」 - 相似比の使い方がわからない
⇒【ポイントNo.１１】「設問から解法を導き出す」
【ポイントNo.１０】「直線上の３つの比に注目」
三角形・四角形・多角形に様々な直線が引かれた相似の問題では、図形が多すぎて、どこから手をつければ良いかがわかりにくいです。
設問で問われている相似形から考えていく方法がよく使われますが、ここでは直線が３つに分けられている部分に注目するというポイントを紹介します。
この３つの部分の比は、相似に関する応用問題ではよく問われるところで、さらには立体図形の切断に関する問題でも出題されます。
難関校を目指す受験生は身につけておきたいところです。
そして、設問で聞かれていなくてもこの３つの部分の比が解答への糸口となっていることが多いのです。
では（１）から見ていきましょう。
三角形の相似形は平行線を探すとよいでしょう。
今回はＰＱとＣＥが平行、という条件が与えられています。
三角形ＡＰＱと三角形ＡＥＳが相似です。
相似比は、
ＡＰ：ＡＥ＝10：18＝５：９ になります。
ＡＱ：ＡＳ＝５：９ → ＡＱ：ＱＳ＝５：４
そして、ＱＳ＝ＳＤより、ＡＱ：ＱＳ：ＳＤ＝５：４：４になります。
（１）【正解】
ＡＱ：ＱＤ＝５：８
【ポイントNo.１１】「設問から解法を導き出す」①
図形の問題で、いくつかの数値は出せたけれど、そこからどうすれば解答にたどりつけるかがなかなか難しいです。
そこでこの「設問から解法を導き出す」というポイントを使います。
このポイントは文章題でも使用することができる大切なポイントです。
（２）の設問は、角ＱＲＳの大きさを答える問題です。
そこである疑問が出てきます。
「どうしてこの部分の角度が求められるのか？」
（１）は辺の長さの比の問題、（３）は面積の問題ですし、与えられた図や条件でも角度についてあるのは、角ＢＡＥ＝90°だけです。
この疑問に対する答えは、
①辺の長さから角度が求められる図形が隠されている
②与えられている角度との図形的特徴により求められる
のどちらかになります。
①は正方形や正三角形のような図形が実は隠れていた、というような場合です。
正方形であれば90°、正三角形であれば60°と決まった角度が求められます。
そして、今回は②の図形的特徴を使う解き方になります。
（１）より、ＡＱ：ＱＤ＝５：８が求められました。これを他の条件と組み合わせていきます。
どうでしょう、ＢＲ：ＲＤ＝５：８と同じ比が与えられていることに気がつきましたでしょうか。
ＡＱ：ＱＤ＝ＢＲ：ＲＤより、三角形ＤＡＢと三角形ＤＱＲが相似であることがわかります。
そして、ＡＢとＱＲが平行ということもわかります。
これで、唯一の大きさが分かっている角ＢＡＥと、求めたい角ＱＲＳがつながりました。
ここでもう一つの辺、ＡＥとＲＳの関係が分かれば正解に大きく近づくのでは？と考えられます。
ＰＲ：ＲＣ＝３：５ という条件があります。そこで対応するＥＳ：ＳＣを求めましょう。
ＳＣ＝16.5㎝と長さがわかっていますので、ＥＳの長さを考えます。
先ほど三角形ＡＰＱと三角形ＡＥＳが相似であることがわかりました。
その相似比は５：９なので、ＰＱ：ＥＳ＝５：９です。
ＰＱ＝5.5㎝より、
| ＥＳ | = | 5.5× | 9 | = | 9.9㎝です。 | |
| 5 |
したがって、ＥＳ：ＳＣ＝9.9：16.5＝３：５となりました。
ＰＲ：ＲＣ＝ＥＳ：ＳＣより、三角形ＣＲＳと三角形ＣＰＥも相似です。
よって、ＲＳとＰＥは平行であることがわかります。
ＡＢとＱＲが平行、ＡＥとＲＳが平行、そして角ＢＡＥ＝90°より、
角ＱＲＳがわかります。
（２）【正解】
９０°
【ポイントNo.１１】「設問から解法を導き出す」②
ＡＱ：ＱＤ＝５：８より、ＡＢ：ＱＲ＝13：８
ＡＢ＝3.9㎝なので、
| ＱＲ | = | 3.9× | 8 | = | 2.4㎝です。 | |
| 13 |
ＰＲ：ＲＣ＝３：５より、ＰＥ：ＲＳ＝８：５
ＰＥ＝８㎝なので、
| ＲＳ | = | 8× | 5 | = | 5㎝です。 | |
| 8 |
角ＱＲＳ＝90°より、三角形ＱＲＳの面積が求められます。
（３）【正解】
６㎠
開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う
問題 灘中学校（１日目） 2016 ８
図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦがあり、点Ｐ、Ｑ、Ｒは、それぞれ辺ＡＢ，ＢＣ、ＤＥの真ん中の点です。
２本の直線ＰＲ、ＱＦは点Ｓで交わっています。
このとき、三角形ＱＲＳの面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。
【解説】
三角形ＱＲＳが全体の何倍になるのか、という問題です。
面積を求められませんので、問題から解法を考えてみましょう。
直接何倍になるかがわからない場合は、
（ア）正六角形の面積の何倍になるかがわかる図形がある
（イ）三角形ＱＲＳがその図形の何倍になるかがわかる
という２つの条件が必要になります。
この２つについて考えます。←ポイントNo.１１
（イ）から考えます。
面積の割合がわかるのは、相似形の場合と、高さが等しい場合が考えられます。
ここでは高さが等しい場合を考え、ＰＳ：ＳＲを求めることにします。
（ＱＳ：ＳＦを求めていっても構いません）
Ｑ、ＲがＢＣ，ＤＥの真ん中の点なので、ＱＲとＣＤは平行になります。
ということはＱＲとＡＦも平行になりますので、ここに相似形を作るように補助線を引きましょう。
ＦＡを伸ばした線とＲＰを伸ばした線の交点をＧ、
ＡＢを伸ばした線とＲＱを伸ばした線の交点をＨとします。
そうすると直線ＧＲがＧＰ、ＰＳ、ＳＲの３つの部分に分かれていますので、この３つの比を求めます。←ポイントNo.１０
ここで、正六角形の１辺を②とおきます。
ＡＰ＝①、角ＡＰＧ＝90°、角ＰＡＧ＝60°より、ＡＰ：ＡＧ＝１：２になりますので（30°、60°、90°の直角三角形でおなじみの辺の比です）ＡＧ＝②です。
また、ＣＤ＝②、ＢＥ＝④より、ＱＲはＣＤとＢＥの平均である③になります。
そして、三角形ＢＱＨは正三角形になりますので（角ＨＢＱ＝角ＨＱＢ＝60°より）、ＱＨ＝①です。
三角形ＱＲＳと三角形ＦＧＳが相似形で、相似比はＱＲ：ＦＧ＝３：４です。
よって、ＧＳ：ＳＲ＝４：３になります。
また、三角形ＧＡＰと三角形ＲＨＰも相似形で、相似比はＡＧ：ＨＲ＝２：４＝１：２です。
よって、ＧＰ：ＰＲ＝１：２になります。
ＧＳ＋ＳＲ＝ＧＰ＋ＰＲ＝ＧＲより、ＧＲを４＋３＝７の７と１＋２＝３の３の最小公倍数である21とおきます。
| ＧＰ | = | 21× | 1 | = | ７、 | |
| 3 |
| ＳＲ | = | 21× | 3 | = | ９、 | |
| 7 |
ＰＳ＝21－（７＋９）＝５となりますので、
ＰＳ：ＳＲ＝５：９です。
したがって、三角形ＱＲＳの面積は
| 三角形ＰＱＲの | 9 | 倍 | です。 | |
| 14 |
（ア）にもどり、三角形ＰＱＲが正六角形ＡＢＣＤＥＦの何倍の面積かを考えましょう。
三角形ＢＨＱは下の図より、正六角形を24等分した大きさです。
ＰＢ：ＢＨ＝１：１より、
| 三角形ＰＨＱは全体の | 1 | × | ２ | = | 1 | |
| 24 | 12 |
ＨＱ：ＱＲ＝１：３より、
| 三角形ＰＱＲは全体の | 1 | × | ３ | = | 1 | |
| 12 | 4 |
よって、三角形ＱＲＳは全体の
| 三角形ＱＲＳは全体の | 1 | × | 9 | = | 9 | 倍 | ||
| 4 | 14 | 56 |
になります。
| 答え | 9 | 倍 | ||
| 56 |
前回のチャレンジ問題の答え
問題
下の図のように１辺の長さが３㎝の正方形ＡＢＣＤがあり、頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄをそれぞれ中心とする半径３㎝の円をかきました。
斜線部分（正三角形４つと正方形１つ）の合計は何㎠ですか。
（１９９８ジュニア算数オリンピックファイナル問題）
【解説】
ＢＤに直線を引き、図のように頂点Ｐ、Ｑ、Ｒを決めます。
ＢＤとＰＱは平行になりますので、三角形ＰＱＲの面積と三角形ＰＱＢの面積が等しくなります。
これは前回説明した2016年開成中の問題でも出てくる手法です。
三角形ＰＱＲは中央の正方形を４等分した形ですので、三角形ＰＱＢも中央の正方形を４等分した面積と等しくなります。
ＡＢ＝ＡＰ＝ＢＣ＝ＣＰ３㎝より、三角形ＢＣＰも１辺３㎝の正三角形になります。
これは正三角形ＡＢＳと同じ大きさです。
したがって、求める面積（正三角形４個と正方形１個の和）は、正三角形１個と正方形を４等分した大きさを合わせた四角形ＢＣＰＱ４個分と同じことになります。
角ＥＢＣ＝60°、角ＱＣＢ＝30°より、角ＢＥＣ＝90°になります。
したがって、四角形ＢＣＰＱの２本の対角線ＰＢとＱＣは垂直に交わりますので、ＢＣＰＱの面積はひし形と同じ対角線×対角線÷２で求められます。
よって答えは、３×３÷２×４＝18㎠になります。
今日のポイントを使って問題にチャレンジ！
問題
下の図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦがあります。辺ＢＣ，ＣＤのまん中の点をそれぞれＧ、Ｈとします。
（１）三角形ＡＧＥの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。
（２）ＦＧとＡＨが交わる点をＩ、ＦＧとＡＤが交わる点をＪ、ＦＧとＡＥが交わる点をＫとします。
次の長さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
①ＢＧとＡＪ
②ＡＫとＫＥ
（３）正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積を12㎠とするとき、三角形ＡＩＫの面積を求めなさい。
（２０１６ 駒場東邦中 ４）
※解答解説は次回掲載いたします。