問題
１枚の紙の上に何個かの点があるとき、以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール１）どの点も最低１個のほかの点と結ばれるようにする。
ルール２）線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を「区域」とよび、その個数を数えます。
たとえば６個の点があるとき、（図１）や（図２）の場合は３個、（図３）の場合は４個の区域があることになります。

いま、１枚の紙の上に2006個の点があり、これらの点どうしをルールにしたがってまっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、最少で何本の線を引いたらよいですか。
ただし、どの線も必ず区域を囲んでいるものとします。

（2006算数オリンピックファイナル問題）

今回使うポイント

• 規則性の問題で何をしてよいかわからない
  　⇒【ポイントNo.１４】「図形の規則は数字を並べて考える」
• 具体的な規則性が見つけられない
  　⇒【ポイントNo.１５】「まずは小さい数字の例を考える」

問題　筑波大附属駒場中学校　2016　２

正多角形の内側にいくつかの点があるとき、正多角形の頂点やこれらの点をまっすぐな線で結び、正多角形の内側をできるだけ多くの三角形に分割します。
ただし、頂点や内側の点を結ぶ線は交わってはいけません。
また、内側の点が３個以上一直線に並ぶことはありません。

正三角形の内側にいくつか点があるとき、たとえば図のように三角形に分割できます。
なお例１では、内側にできた三角形の個数は７個です。



次の問いに答えなさい。

（１）次のそれぞれの場合で、内側にできる三角形の個数を求めなさい。
　（ア）正方形と４点
　（イ）正五角形と５点

（２）正2016角形と28個の点のとき、内側にできる三角形の個数を求めなさい。

（３）正多角形の頂点の個数と内側の点の個数が等しいとき、内側に2016個以上の三角形ができました。
このような正多角形のうち、最も頂点の数が少ないものは正何角形ですか。

問題

図のような長方形ＰＱＲＳと角Ｂが直角である直角三角形ＡＢＣがあります。
長方形ＰＱＲＳのまわりを、三角形ＡＢＣを次のように回転させます。
ただし、はじめ点Ａは点Ｐに、点Ｂは辺ＰＳ上にあるものとします。


①三角形ＡＢＣを点Ｂを中心に、点Ｃと点Ｓが重なるまで時計回りに回転させる。
②次に三角形ＡＢＣを点Ｃを中心に、点Ａと点Ｒが重なるまで時計回りに回転させる。
③次に三角形ＡＢＣを点Ａを中心に、点Ｂが辺ＱＲ上にくるまで時計回りに回転させる。

この回転を通して、三角形ＡＢＣが動いた部分のまわりの長さは何㎝ですか。
ただし、答えは小数第２位を四捨五入して、小数第１位まで求めなさい。

（２００７　開成中　１（２））

問題

１、２、３、……、Ｎの数が１つずつ書かれたＮ枚のカードを時計回りに、数の小さい順に円形に並べます。
次の規則にしたがって、カードを１枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。

・まず、１の書かれたカードを取り除く。
・あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて２枚目のカードを取り除く。

これをカードが１枚だけ残るまでくり返す。
たとえば、Ｎ＝13のとき、図２のようにカードが取り除かれ、最後に10の書かれたカードが残ります。（×印は取り除いたカードを表します。）
このとき、下の問いに答えなさい。


（１）Ｎ＝８のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（２）Ｎ＝16のとき、１周目にカードを取り除いた時点で、下の図のように８枚のカードが残り、次には２の書かれたカードから取り除くことになります。
もし必要ならばこのことを用いて、Ｎ＝16のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
また、Ｎ＝32とＮ＝64のとき、最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。


（３）Ｎ＝35のとき、１周目に１、３、５の書かれたカードを取り除いた時点で、残るカードは32枚で、次には７の書かれたカードから取り除くことになります。
もし必要ならばこのことを用いて、Ｎ＝35のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（４）Ｎ＝100のとき、１周目に36枚のカードを取り除いた時点で、残るカードは64枚です。
もし必要ならばこのことを用いて、Ｎ＝100のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（５）Ｎ＝2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
（２００９　開成中　４）