第７回 速さの文章題を得意単元にする
今後の目次
第７回 速さの文章題を得意単元にする ← 今週はココ！
第８回 立体図形必勝法①（影）
第９回 立体図形必勝法②（錐体の切断）
今回は速さの文章題について説明してまいります。
多くの受験生が速さの文章題を苦手としています。その理由は２つあります。
１つが、問題文が他の文章題に比べ長く題意を把握しづらいから、もう１つが比を絡めた出題が多くどのように比を使っていけばよいのかわかりづらいからです。
これは、①問題文が長く複雑で、何を言っているのか、何と問われているのかを理解するのが難しい、になります。
これらを解決していくために、問題文を図にしていく解法は避けては通れません。
図には線分を使った図（状況図）とダイヤグラムの図がありますが、比を書き込みやすい・流水算で使いやすいということから、今回はダイヤグラムの描き方・使い方を中心にお話ししてまいります。
それでは、この「①問題文が長く複雑で、何を言っているのか、何と問われているのかを理解するのが難しい」を解決するポイントを、お子様に身につけさせましょう！
ポイントが身につく問題実践講座
問題
ある公園を入口から周りを１周すると、
| 最初の | 1 | がのぼり坂で | |||
| 4 |
| 真ん中の | 1 | がくだり坂で | |||
| 4 |
| 最後の | 1 | がのぼり坂 | |||
| 4 |
になっています。
この公園の周りをＡ君は自転車で、Ｂ君は歩いてまわります。
Ａ君の自転車はくだり坂では、のぼり坂の倍の速さになりますが、Ｂ君の歩く速さは常に一定です。
今、Ａ君とＢ君が公園の入り口を同時に出発したところ、Ａ君が15周して、Ｂ君が12周して同時に公園の入り口に戻ってきました。
途中では、Ａ君がＢ君を追い越したり、逆にＢ君がＡ君を追い越したりすることがありましたが、このような追い越しは全部で何回ありましたか。
ただし、スタートと到着のときには追い越しはありません。
（2007ジュニア算数オリンピックファイナル問題）
【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。
どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
問題文の条件をしっかり整理できましたか？あるいは、問題の意味はわかるけれども、速さの比をどのように使って解けばよいかわかりましたか？
今回はどのように問題文を図に表し、その図のどこに注目して解いていくかがポイントです。
今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、その中から「効率よく調べていくためのポイント」を2つご紹介します。
今回使うポイント
- 速さの比がうまく使えない
⇒【ポイントNo.１６】「速さの比は『同じ○○』を見つける」 - ダイヤグラムがうまく描けない
⇒【ポイントNo.１７】「まずは位置と時間の正確な打点」
【ポイントNo.１６】「速さの比は『同じ○○』を見つける」
この問題のように、速さの問題ですが「速度」「道のり」「時間」について具体的な数値がほとんど与えられていないため、どうしてよいかわからない時がよくあります。
まずは、問題文にある「割合（比）の関係」に注目しましょう。
Ａ君の自転車はくだり坂では、のぼり坂の倍の速さになります
→速さの比 Ａ下：Ａ上＝２：１
→同じ道のりを進むのにかかる時間の比 Ａ下：Ａ上＝１：２
Ａ君が15周して、Ｂ君が12周して同時に公園の入り口に戻ってきました→同じ時間で進んだ道のりの比 Ａ：Ｂ＝15：12＝５：４
→平均の速さの比 Ａ：Ｂ＝５：４
→１周にかかる時間の比 Ａ：Ｂ＝４：５
※Ａは上りと下りがあるため、平均の速さになる点に注意
この２つをつなげるため、
| Ａが１周の | 1 | の道のりを下るのに | |||
| 4 |
かかる時間を②とします。
すると、同じ道のりを上るのにかかる時間は④となり、
Ａが１周するのにかかる時間は
（②＋④）×２＝⑫となります。
Ｂが１周するのにかかる時間は
| ⑫× | 5 | ＝⑮になります。 | |||
| 4 |
【ポイントNo.１７】「まずは位置と時間の正確な打点」
２人が出発してから戻ってくるまで、Ａは15周、Ｂは12周しました。
15と12はともに３で割り切れるので、Ａが５周したときＢも４周して同時に戻ってきています。
つまり、ダイヤグラムはＡが５周、Ｂが４周するまでを描けば、その後は同じ動きを繰り返すので必要ないことになります。
先ほどＡが１周にかかる時間を⑫としましたので、
５周にかかる時間は⑫×５＝60になります。
大きめに枠を取り、目分量で構いませんので点線で縦横を分割しておきます。
まずはＢの動きを描き入れます。Ｂは速さが変わりません。
次にＡの動きを描き加えます。
Ａは上り（４）→下り（４）→上り（４）を繰り返します。
大まかに状況を捉えるのであれば、ここまで正確に図を描く必要はありませんが、線と線が交差する回数や時間、場所を考える問題では、ある程度正確に図を描く必要があります。 普段から図を描く練習を行うことで、どのような図になるかのイメージが出やすくなり、結果として図を描くスピードも上がってきます。
Ａが５周、Ｂが４周する間に３回追い越しがあったことがわかります。
したがって、Ａが15周、Ｂが12周する間に、３×３＝９回の追い越しがあったことになります。
しかし、最後に到着したときの追い越しは数えない、と問題文にありますので、この１回を引いて答えになります。
【正解】
８回
開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う
問題 灘中学校 2013（二日目）１
Ａ君とＢ君はＰ地点を同時に出発し、Ｐ地点から42㎞離れたＱ地点に向かいました。
Ａ君は一定の速さで進みました。
また、Ｂ君はＰ地点から28㎞離れたＭ地点まで一定の速さで進んだのち20分休み、Ｍ地点からは
| それまでの | 1 | 倍の速さで進みました。 | |||
| 3 |
Ｂ君がＭ地点を出発して１時間21分後、Ａ君はＢ君を追い抜き、その後Ａ君はＢ君より20分早くＱ地点に着きました。
（１）Ｂ君がＭ地点に着いたとき、Ａ君はＢ君の後方何㎞の地点にいましたか。
（２）Ａ君はＰ地点を出発して何時間何分後にＱ地点に着きましたか。
【解説】
まずは、割合（比）に関する部分のみ取り出します。←ポイントNo.１６
・Ｂ君は……Ｍ地点からは
| それまでの | 1 | 倍の速さで進みました。 | |||
| 3 |
→速さの比 Ｂ（ＰＭ）：Ｂ（ＭＱ）＝３：１
→同じ距離を進む時の時間の比 Ｂ（ＰＭ）：Ｂ（ＭＱ）＝１：３
他にわかっていることをまとめると、 ・Ｐ～Ｍは28㎞、Ｍ～Ｑは14㎞ ・Ｂ君は20分休み、Ａ君より20分遅れてＱに到着した。 →Ｂ君は休んでいなければＡ君と同時にＱに到着していた。
ここで、Ｂ君が最初の速度で14㎞進むのにかかった時間を①分とします。 すると、Ｂ君はＰからＭまで②分、ＭからＱまで③分かかったことになります。
これらの数値を使ってダイヤグラムを描いていきます。←ポイントNo.１７
まず、速さを変えていないＡ君の動きを描きます。このとき縦線を３等分し、Ｍの位置も書いておきましょう。
次に、休まなかったときのＢ君の動きを書き加えます。
Ｍには②分後、Ｑには⑤分後に着いています。
実際は20分休んだので、出発してから１時間21分後にＡ君がＢ君を追い越します。
これを書き加えます。
（１）Ａ君がＱに着いたのは⑤分後、Ｂ君がＭに着いたのは②分後なので、
②分後にＡ君はＰから
| 42× | 2 | ＝16.8㎞ | |||
| 5 |
進んだところにいます。
したがって、28－16.8＝11.2㎞後方にいたことになります。
答え 11.2㎞
（２）ここでポイントとなるのが、Ａ君とＢ君の速さの比です。
設問で聞かれていなくても、問題に出てくる人（や車など）の速さの比は常に考えるようにしておきましょう。
Ｂ君はＭからＱまでの14㎞を③分で移動します。
いっぽうＡ君はＰからＱまでの42㎞を⑤分で移動しますので、２人の速さの比は、
Ａ：Ｂ＝42÷５：14÷３
| = | 42 | ： | 14 | = | 126 | ： | 70 | = | 9：5 | ||
| 5 | 3 | 15 | 15 |
になります。
したがって、２人がＭを通り過ぎて追い越すまでにかかった時間は、
Ａ：Ｂ＝５：９になります。これらをさらに書き加えます。
求めるのは、Ａ君がＱに着くまでの時間⑤分なので、
| 56÷ | 4 | ×５＝210分 | |||
| 3 |
＝３時間30分後になります。
答え ３時間30分後
このように、速さの問題ではダイヤグラムを描くことももちろん大切ですが、その後ダイヤグラムにどんどん数値を書くことも大切だということです。
そのためダイヤグラムは大きくしっかりと描きましょう。
前回のチャレンジ問題の答え
問題
１、２、３、……、Ｎの数が１つずつ書かれたＮ枚のカードを時計回りに、数の小さい順に円形に並べます。
次の規則にしたがって、カードを１枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。
・まず、１の書かれたカードを取り除く。
・あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて２枚目のカードを取り除く。
これをカードが１枚だけ残るまでくり返す。
たとえば、Ｎ＝13のとき、図２のようにカードが取り除かれ、最後に10の書かれたカードが残ります。（×印は取り除いたカードを表します。）
このとき、下の問いに答えなさい。
（１）Ｎ＝８のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
（２）Ｎ＝16のとき、１周目にカードを取り除いた時点で、下の図のように８枚のカードが残り、次には２の書かれたカードから取り除くことになります。
もし必要ならばこのことを用いて、Ｎ＝16のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
また、Ｎ＝32とＮ＝64のとき、最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。
（３）Ｎ＝35のとき、１周目に１、３、５の書かれたカードを取り除いた時点で、残るカードは32枚で、次には７の書かれたカードから取り除くことになります。
もし必要ならばこのことを用いて、Ｎ＝35のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
（４）Ｎ＝100のとき、１周目に36枚のカードを取り除いた時点で、残るカードは64枚です。
もし必要ならばこのことを用いて、Ｎ＝100のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
（５）Ｎ＝2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
（２００９ 開成中 ４）
【解説】
（１）カードの枚数が少ないので実際に書いて確かめてみるとよいでしょう。
１周目 １、３、５、７ が取り除かれる。
２周目 ２、６が取り除かれる。
３周目 ４が取り除かれ、８が残る。
したがって、最後に残るカードの数字は８です。
答え ８
（２）１周目の８枚を取り除いた時点で残った枚数は８枚です。
（１）より、最初に８枚並んでいて１から取り除き始めると、最後に残るのは８になることがわかりました。
つまり場所で考えると、８枚の時は最初に取り除いたカードからみて右隣（反時計回り方向に隣合っている）のカードが残ることになります。
このことを利用します。
今、２周目に最初に取り除くカードは２になりますので、最後に残るのは２の右隣にある16が残ります。
Ｎ＝32のときも同様に考えます。１周目が終わった時点で16枚が残り、次に取り除くカードが２になります。
したがって、２の右隣にある32が最後に取り除かれるカードです。
Ｎ＝64のときも同様に考えて、64が最後に残ります。
答え Ｎ＝16のとき16、Ｎ＝32のとき32、Ｎ＝64のとき64
（３）（２）からＮ＝32のときも最初に取り除いたカードの右隣のカードが最後に取り除かれることがわかりました。
Ｎ＝35のとき、３枚取り除いた時点で残り32枚になります。
次に取り除くカードは７が書かれたカードです。
したがって、この32枚のカードで７の右隣に並んでいる６のカードが最後に取り除かれます。
答え ６
（４）（２）よりＮ＝64のとき、最初に取り除いたカードの右隣のカードが最後に取り除かれることがわかりました。
Ｎ＝100のとき、36枚目に71を取り除いた時点で残り64枚になります。
この次に取り除くカードは73のカードになりますので、この時点で73の右隣にある72のカードが最後に取り除かれます。
答え 72
（５）ここまでの問題から、Ｎが２、４、８、16、32、64 と２だけかけ続けた数のとき、一番大きい数字のカードが最後に取り除かれることがわかります。
64×２＝128、128×２＝256、256×２＝512、512×２＝1024
1024×２＝2048より、１周目の途中で1024枚残った時を考えます。
2009－1024＝985より、985枚のカードを取り除くと残り1024枚になります。
985番目に取り除いたのは２×985－１＝1969です。
次に取り除くのは1971になります。
したがって、1024枚残った時に1971の右隣に並んでいる1970が最後に取り除かれるカードになります。
答え 1970
今日のポイントを使って問題にチャレンジ！
問題
Ａ地点からＢ地点に向かって一定の速さで流れている川があります。
この川のＡ地点からボールを流し、同時にＢ地点からＡ地点に向けて船が出発しました。
船がＡ地点で折り返してＢ地点まで一往復したところ、船がＢ地点に到着してから42秒後にボールもＢ地点に到着しました。
船がＢ地点からＡ地点まで行くのにかかった時間は、船がＡ地点からＢ地点まで行くのにかかった時間の2.25倍でした。船の静水での速さは一定として以下の問いに答えなさい。
（１）ボールがＡ地点を出発してからＢ地点に到着するまでに何分何秒かかりましたか。
（２）船とボールが出発してから、
（ア）最初に出会うまでにかかった時間
（イ）船がボールに追いつくまでにかかった時間
をそれぞれ求めなさい。
（２０１３ 開成中 ２）
※解答解説は次回掲載いたします。