第８回 立体図形必勝法①（影）
今後の目次
第８回 立体図形必勝法①（影） ← 今週はココ！
第９回 立体図形必勝法②（錐体の切断）
第10回 立体図形必勝法③（立方体の複数切断）
今回から３回に分けて立体図形を取り上げてまいります。
算数オリンピックでは平面図形が多く出題され、立体図形は立体感覚を問うタイプの問題が時折出題されています。
一方、中学受験ではさまざまな立体図形の問題が出題されます。
体積・表面積・回転体・切断・影・展開図……。形が複雑になってくるため解きにくいと感じるお子様も多いはずです。
しかし、この単元を攻略してこそ、開成・灘・筑駒合格がより確実なものになります。
まずは「影」の問題の攻略ポイントについて説明してまいります。
光源から立体にどのように光があたり、どのように映るのかを正確に作図できなければいけません。
これは、③問題に条件（ヒント）が少なく、どう進めていいかわからないので難しい、になります。
ただし、言い換えれば「きちんと作図できれば普通の立体問題」に近づくということです。
立体をどうやって平面図に落とし込むのか、ここに攻略のポイントがあります。
それでは、この「③問題に条件（ヒント）が少なく、どう進めていいかわからないので難しい」を解決するポイントを、お子様に身につけさせましょう！
ポイントが身につく問題実践講座
問題
図のようなピラミッドの模型があります。底面は１辺20㎝の正方形で、
ピラミッドの高さは15㎝です。底面の辺ＢＣの延長上、ＢＦ＝40㎝の：Ｆの真上に光源Ｐがあります。
ピラミッドの影をなくすにはＰの高さℎを何㎝以上にすればよいですか。
（2005算数オリンピックトライアル問題）
【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。
どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
影の問題では、地面に映る影の図が書けたかどうかがポイントです。
今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、その中から「影の図を上手く描いていくためのポイント」を2つご紹介します。
今回使うポイント
- 影の図が上手く描けない①
⇒【ポイントNo.１８】「壁を壊して柱を残そう」 - 影の図が上手く描けない②
⇒【ポイントNo.１９】「立体は上・横の2方向で見る」
【ポイントNo.１８】「壁を壊して柱を残そう」
光源から出た光は、立体図形に当たり影を作ります。その影の形を決めるのは、立体図形の頂点です。
面や辺は頂点の作る影を結ぶことによって形が定まります。
そこで、立体図形の余計な面や辺を取り除いて考える必要があります。
まさに、「立体図形の壁を壊して柱を残す」作業となります。
問題の四角すいの側面を取り除きます。このとき、頂点Ａが空中に浮いた状態になりますので、Ａと底面を結ぶ高さの線だけ残します。
光源Ｐと頂点Ａを結ぶ直線の延長線と地面の交点が、頂点Ａの影となります。影の点をＧとします。
そして、このＧと底面の四角形ＢＣＤＥとを結んでできる形が、地面にできる四角すいの影になります。
四角形ＢＣＤＥの内側には影はできません。
ということは、Ｇが四角形ＢＣＤＥの内側に来るとき、四角すいの影が地面に現れないということになります。
では光源Ｐの高さをどうすれば、Ｇが四角形の内側に来るかを考えましょう。
【ポイントNo.１９】「立体は上・横の２方向で見る」
先ほどの図は斜め上から見た図です。全体の様子を捉えやすいのですが、正確な位置や長さを測るには適していません。
そこで、立体を平面として捉えるためには、上から見た投影図と横から見た投影図の２種類用意しましょう。
＜上から見た図＞
頂点Ａが地面に作る影の点をＧとします。
先ほどの図を上から見ると、
となります。
影が地面にできなくなるのは、Ｇが辺ＣＤ上に来たときです。
その時の上から見た図は、
となります。ＢＣの真ん中の点をＨとすると、三角形ＰＡＨと三角形ＰＧＣは相似形になり、
相似比はＰＨ：ＰＣ＝50：60＝５：６になります。
したがって、ＰＡ：ＡＧ＝５：１です。
＜横から見た図＞
横から見た場合、地面に映る影の形を捉えることはできませんが、距離を求めることができます。
頂点Ａから垂直に下ろした直線と底面の交点をＩとします。
三角形ＰＧＦと三角形ＡＧＩは相似形になります。
相似比は、ＰＧ：ＡＧ＝（５＋１）：１＝６：１です。
よって、ＰＦ：ＡＩ＝６：１です。
ＡＩ＝15㎝なので、ＰＦの長さも求められます。
このように、影の問題では影を構成する必要な頂点の影を捉え、それを上と横の２方向から見た図で考えていくことで長さを正確に求めていく、という流れが標準的な解法となります。
【正解】
90㎝（以上）
開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う
問題 開成中学校 2008２
下の図のように、水平な地面に直方体のコンクリートブロックと地点Ａから垂直に立つ街灯があります。
街灯に明かりがついたときに、地表上にできる影の部分（コンクリートブロックの置いてある地面をのぞく）の面積を求めなさい。
ただし下の図の数字の単位はすべてｍとします。
【解説】
まずはコンクリートブロックの側面と、上の面を取り除き、底面と柱だけにしましょう。
←ポイントNo.１８
光源ＰからＱ、Ｒ，Ｓ、Ｔに向けて直線を引き、地面までの延長線を取ります。
次に、地面の影Ｒ、Ｓ、Ｔと底面の四角形を結んで影を描きます。
面積を求めるために、上と横から見た図を描いていきましょう。←ポイントNo.１９
＜上から見た図＞
求める影の面積は、台形ＴＳＳ’Ｔ’と台形ＳＲＲ’Ｓ’の合計になることがわかります。
次に辺の長さを求めるため横から見た図を描きます。
＜横から見た図＞
三角形Ｒ’ＰＡと三角形Ｒ’ＲＣは相似です。
相似比は、ＰＡ：ＲＣ＝９：３＝３：１になります。
したがって、ＰＲ：ＰＲ’＝２：３です。
この関係は、他の柱（ＱＢ、ＳＤ、ＴＥ）についても高さが等しいため同じになります。
この結果を＜上から見た図＞に書き込みます。
ＲＳとＲ’Ｓ’が平行、ＴＳとＴ’Ｓ’が平行なので、
三角形ＰＳＲと三角形ＰＳ’Ｒ’が相似、三角形ＰＴＳと三角形ＰＴ’Ｓ’が相似になります。
そして、その相似比はともに２：３です。
ここで辺の長さを求めてもよいですが、相似形の面積比を使いましょう。
相似比 三角形ＰＴＳ：三角形ＰＴ’Ｓ’＝２：３
面積比 三角形ＰＴＳ：三角形ＰＴ’Ｓ’＝２×２：３×３＝４：９
よって、三角形ＰＴＳ：台形ＴＳＳ’Ｔ’＝４：（９－４）＝４：５
です。
三角形ＰＴＳの面積は、6.6×４÷２＝13.2㎡なので、台形ＴＳＳ’Ｔ’の面積は、
13.2÷４×５＝16.5㎡になります。
同様に、三角形ＰＳＲと台形ＳＲＲ’Ｓ’の面積比も４：５になります。
三角形ＰＳＲの面積は、４×（３＋6.6）÷２＝19.2㎡なので、
台形ＳＲＲ’Ｓ’の面積は、19.2÷４×５＝24㎡になります。
したがって、影の面積は16.5＋24＝40.5㎡です。
答え 40.5㎡
前回のチャレンジ問題の答え
問題
Ａ地点からＢ地点に向かって一定の速さで流れている川があります。
この川のＡ地点からボールを流し、同時にＢ地点からＡ地点に向けて船が出発しました。
船がＡ地点で折り返してＢ地点まで一往復したところ、船がＢ地点に到着してから42秒後にボールもＢ地点に到着しました。
船がＢ地点からＡ地点まで行くのにかかった時間は、船がＡ地点からＢ地点まで行くのにかかった時間の2.25倍でした。船の静水での速さは一定として以下の問いに答えなさい。
（１）ボールがＡ地点を出発してからＢ地点に到着するまでに何分何秒かかりましたか。
（２）船とボールが出発してから、
（ア）最初に出会うまでにかかった時間
（イ）船がボールに追いつくまでにかかった時間
をそれぞれ求めなさい。
（２０１３ 開成中 ２）
【解説】
（１）まずは、速さの比に関する部分を考えます。
船がＢ地点からＡ地点まで行くのにかかった時間は、船がＡ地点からＢ地点まで行くのにかかった時間の2.25倍でした。
Ｂ地点からＡ地点までと、Ａ地点からＢ地点までは「同じ道のり」ですから、かかった時間の比と速さの比は逆比の関係になります。
時間の比 下り（Ａ→Ｂ）：上り（Ｂ→Ａ）＝１：2.25 ＝４：９
速さの比 下り：上り＝９：４
静水での速さは上り・下りともに一定のため、
静水での速さ＋川の速さ：静水での速さ－川の速さ＝９：４
となります。
静水での速さ＋川の速さ＝９
静水での速さ－川の速さ＝４ とおくと、
静水での速さ＝（９＋４）÷２＝6.5
川の速さ＝（９－４）÷２＝2.5 となります。
ボールは川の速さで進みます。
そこで、船の上り・下りとボールの速さの比は
上り：下り：ボール＝４：９：2.5＝８：18：５ になります。
ＡからＢまで移動する場合の時間の比は、速さの比の逆比になりますので、
上り：下り：ボール
| ＝ | 1 | ： | 1 | ： | 1 | ||
| 8 | 18 | 5 |
| ＝ | 45 | ： | 20 | ： | 72 | ||
| 360 | 360 | 360 |
＝45：20：72
これをふまえて、ダイヤグラムを描きます。
72－65＝７＝42秒より、
72＝（42÷７）×72＝432秒＝７分12秒
答え ７分12秒
（２）（ア）出会った時刻や追いついた時刻は、ダイヤグラム上の相似形を使って解いていきます。
270：432＝５：８
上の図より、すれ違ったのは、
| 270× | 8 | ＝ | 1260 | ＝ | 166 | 2 | 秒 | ||
| 13 | 13 | 13 |
| ＝２分46 | 2 | 秒 | |||
| 13 |
| 答え ２分46 | 2 | 秒 | ||
| 13 |
（２）（イ）
270：（432－390）＝270：42＝45：7
上の図より、追いついたのは、
| 432× | 45 | ＝ | 2160 | ＝ | 373 | 11 | 秒 | ||
| 52 | 13 | 13 |
| ＝６分13 | 11 | 秒 | |||
| 13 |
| 答え ６分13 | 11 | 秒 | ||
| 13 |
今日のポイントを使って問題にチャレンジ！
問題
図１のように、平らな地面に３点Ａ、Ｂ、Ｐがあり、高さ３ｍの長方形の壁ＡＢＣＤと高さ９ｍの柱ＰＱが、地面にまっすぐ立っている。
これらを真上から見たものが図２である。
柱の先端Ｑの位置にある電灯で壁ＡＢＣＤを照らしたとき、地面にできる壁の影の面積を求めなさい。
ただし、電灯の大きさや壁の厚さは考えないものとする。
（２００９ 灘中（１日目） 12）
※解答解説は次回掲載いたします。