今後の目次

第10回　立体図形必勝法③（立方体の複数切断）　← 今週はココ！
第11回　調べる立体図形・サイコロ
第12回　数の性質と場合の数の融合問題

今回は立方体の複数切断です。１回切断するときの切断面の求め方は、
「同じ面にある２点を結ぶ」
「平行な面にできる切り口は平行」
「切り口の線と辺を延長して、立体の外で交点を見つける」
の３つがポイントです。
では、そのあとさらに切断する場合はどうすれば良いでしょう？
また、２回切断されてできる立体の体積はどうやって求めればよいのでしょう？
この問題を解決するのは図形センスではなく、あくまで決まったルールに従って正確に作業する力と、条件に合った図形を見つける力です。
そのためのポイントを今回もご紹介してまいります。

ポイントが身につく問題実践講座

【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。

正解はこちら

どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
切断の問題では、切り口（切断面）が立体図形に描けたかどうかがポイントです。

今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、その中から「複数回切断された面を上手く描いていくためのポイント・複数回切断された立体の体積を求めるためのポイント」を２つご紹介します。

開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う

【解説】

まずは、Ｊの位置（ＤＪの長さ）を求めます。

ＩＧとＡＪは平行になります。正面から見た投影図で考えると、

三角形ＩＦＧと三角形ＪＤＡは合同なので、ＤＪ＝ＦＩ＝２㎝です。

では、四角すいＫ－ＡＩＧＪの体積を求めていきましょう。
四角すいの体積は底面積×高さ÷３で求めますが、四角形ＡＩＧＪを底面とすると、底面積も高さも求めることができません。
そこで見方を変えて、大きな立体から小さな立体を切り取って、四角すいＫ－ＡＩＧＪが作れないかを考えます。
すると、面ＡＩＧＪで立方体を切断した上側の立体から、面ＡＢＣＤを含む立体をさらに切り取ると四角すいになることがわかります。

この２つの立体は、面ＡＢＣＤを底面とすると高さを表すＢＩ、ＣＫ，ＣＧ、ＤＪが全て平行で面ＡＢＣＤに垂直です。 このことからどちらも「切断四角柱」として体積を求めることができます。←ポイントNo.25

三角形ＡＢＣ＝三角形ＣＤＡ＝６×６÷２＝18㎤
ＢＩ＝４㎝、ＣＫ＝３㎝、ＣＧ＝６㎝、ＤＪ＝２㎝より、
立体ＡＢＣ－ＩＧ　１８×（０＋４＋６）÷３＝６０㎤
立体ＣＤＡ－ＧＪ　１８×（０＋６＋２）÷３＝４８㎤
⇒立体ＡＢＣＤ－ＩＧＪ　６０＋４８＝１０８㎤

立体ＡＢＣ－ＩＫ　１８×（０＋４＋３）÷３＝４２㎤
立体ＣＤＡ－ＫＪ　１８×（０＋３＋２）÷３＝３０㎤
⇒立体ＡＢＣＤ－ＩＫＬ　４２＋３０＝７２㎤

したがって、四角すいＫ－ＡＩＧＪ＝１０８－７２＝３６㎤です。

①答え　３６㎤

この立方体を対角線ＡＣに垂直な面で切り、面ＡＣＧＥを考えます。

ＢＤとＡＣはまん中の点で交わります。
この点をＬとします。直線ＬＧは面ＢＤＧと面ＡＥＧＣの交線になります。
そこで、面ＡＥＧＣを考えます。

ＡＫとＬＧは交わります。この交点をＲとします。

四角すいＫ－ＡＩＧＪは、面ＧＰＲＱで切り分けられることがわかります。

この頂点を共有する四角すいの体積は、第９回で説明した【ポイント№22】「角すいのてっぺんは辺の比の積」を使います。

＝三角すいＫ―ＲＰＱ

＝三角すいＫ―ＲＰＱ

三角すいＫ－ＡＩＪ＝三角すいＫ－ＧＩＪ＝36÷２＝18㎤

あとはＡＫ：ＲＫ．ＩＫ：ＰＫ，ＪＫ：ＱＫを求めます。

ＬはＡＣのまん中の点です。そこで、ＡＣ＝④とすると、
ＡＬと平行になる直線ＫＭをひくと、ＣＧ：ＫＧ＝ＣＬ：ＫＭ＝２：１より、ＫＭ＝①になります。
ＡＲ：ＲＫ＝ＡＬ：ＫＭより、ＡＲ：ＲＫ＝２：１、よってＡＫ：ＲＫ＝３：１です。

ＩＰ：ＰＫ＝ＢＩ：ＧＫ＝４：３より、
ＩＫ：ＰＫ＝７：３
ＫＱ：ＱＪ＝ＧＫ：ＤＪ＝３：２より、
ＪＫ：ＱＫ＝５：３

三角すいＫ―ＲＰＱ

三角すいＫ－ＧＰＱ

したがって、四角すいの体積は

前回のチャレンジ問題の答え

【解説】

まずは同じ平面上にＹとＺがあるので、この２つを結びます。

新たな交点を見つけるため、ＹＺを延長します。
底面の正方形の頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとし、ＡＤとＣＤも延長します。
そして、延長線の交点をＱ、Ｒとします。

ＸとＱは同じ平面上にありますので結ぶことができます。ＸとＲについても同様です。
それぞれ交点をＳ、Ｔとします。

すると、ＳとＹが同じ平面上にあるので結ぶことできます。
ＴとＺについても同様です。これで切り口の五角形が完成しました。

この切り口を矢印の方向から見た図に書きこんでいきます。
矢印の方向から見える辺は、ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＡＢ、ＢＣの５つです。
ただし、辺ＰＤは直接見えませんが、辺ＰＢと重なった場所にあります。

ここに、切り口の頂点であるＸ、Ｙ、Ｚ、Ｓ、Ｔを書きこんでいきます。
Ｘ、Ｙ、Ｚの位置はわかっていますので、ＳとＴの位置を決めるために、
ＰＳ：ＳＡ，ＰＴ：ＴＣを求めます。
まずは底面の正方形を考えます。

三角形ＱＡＹとＺＢＹが相似形で、ＡＹ：ＢＹ＝１：１より、ＱＡ＝ＺＢ＝１：１です
したがって、ＱＡ＝４㎝
同様に、三角形ＢＹＺと三角形ＣＲＺも相似形で、ＢＺ：ＣＺ＝１：１より、ＢＹ：ＣＲ＝１：１です。
したがって、ＲＣ＝４㎝
次に、三角形ＰＡＤの面を考えます。

Ｘを通り、ＡＤと平行な直線を引き、ＰＡとの交点をＵとします。
三角形ＰＡＤとＡＵＸは相似形で、ＰＤ：ＰＸ＝４：１より、ＡＤ：ＵＸ＝４：１となり、ＵＸ＝２㎝です。
三角形ＸＵＳと三角形ＱＡＳが相似形になり、ＱＡ：ＸＵ＝２：１となりますので、ＡＳ：ＵＳ＝２：１です。
ＡＵ＝６㎝なので、ＡＳ＝４㎝となります。
三角形ＰＣＤの面について考えますが、ＱＡ＝ＲＣ＝４㎝、三角形ＰＡＤと三角形ＰＣＤが合同なので、ＰＳ＝ＰＴ＝４㎝になります。

ＰＳ：ＳＡ＝ＰＴ：ＴＣ＝１：１がわかりましたので、これを解答の図に書きこんでいきます。

答え　上の図

今日のポイントを使って問題にチャレンジ！

※解答解説は次回掲載いたします。