第１３回 ゲームの達人～勝利の方程式～
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第14回 西暦問題いろいろ
第15回 数当て問題～ヒントの読み方～
今回は少し推理力を要するゲームの問題です。
ある決まったルールにしたがって行うゲームに実は必勝法があるとしたら？
このタイプの問題は論理的に考える力、いろいろな状況を調べ上げる力など受験算数に必要な力を要します。
まさに、「問題に条件（ヒント）が少なく、どう進めていいかわからないので難しい」問題と言えるでしょう。
今回は、どうすれば必ず勝てる「必勝法」がみつけられるか、そのポイントを説明してまいります。
ポイントが身につく問題実践講座
問題
次のようなゲームをします。
はじめに先生が、１以上2011以下の整数を１つ黒板に書きます。
先手は、その整数の１つのけたの数字を選んで（ただし０は除きます）、黒板の整数から、選んだ整数を引いた差に、黒板の整数を書きかえます。
後手は、その書きかえられた整数の１つのけたの数字を選んで（ただし０は除きます）、黒板の整数から、選んだ数字を引いた差に、黒板の整数を書きかえます。
これを交互にくり返して黒板に０を書いたほうが勝ちというゲームです。
（例）はじめに先生が黒板に21を書いた場合
先手が２を選び数字を19（＝21－２）にする
後手が１を選び数字を18（＝19－１）にする
先手が８を選び数字を10（＝18－８）にする
後手が１を選び数字を９（＝10－１）にする
先手が９を選び数字を０（＝９－９）にすると、先手の勝ち
次の問いに答えなさい。
（１） はじめに先生が書いた整数が次の（あ）～（え）のとき、
先手必勝となるものには○、ならないものには×を書きなさい。
（あ）22 （い）15 （う）30 （え）41
（２） はじめに先生が黒板に書く１以上2011以下の整数のうち、先手必勝となる整数は全部で何通りありますか。
（２０１１ 算数オリンピックファイナル）
【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。
どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
ゲームのルールはわかってもどうすれば勝てるのかがわかりにくいのではないでしょうか。
今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、その中から「規則のあるゲームの問題を解くための解法ポイント」を１つご紹介します。
今回使うポイント
- 条件に合ったゲームの必勝法がわからない
⇒【ポイントNo.29】「相手を負けさせる方法を考えよう」
【ポイントNo.29】「相手を負けさせる方法を考えよう」
わかりやすい「先手必勝となる最初の数字」を考えてみましょう。
一番わかりやすいのは、「１」です。
この場合は、先手が選べる数字は１しかありませんので、１－１＝０となります。
数字を大きくしていくと、最初の数字が２でも３でも９でも先手必勝になることがわかります。
つまり、１ケタの数字のときはその数字をひくしかないので、必ず０になり勝つということです。
では、「10」はどうでしょう。
この場合選べる数字は１しかありませんので、10－１＝９を黒板に書くことになります。
すると、後手は９－９＝０となり後手が勝ちます。
つまり、10は後手必勝の数字ということになります。
「11」の場合を考えてみます。
先ほどの例から、黒板の数字が10で順番が回ってきたら必ず負けます。
先手は11－１＝10を黒板に書きますので、結局先手が勝ちます。
「12」の場合も、２を選んで12－２＝10とすれば先手が勝つことができます。
以上のことから、相手を必ず負けにするには、
10の倍数を書いて相手に順番を回す
ということになります。これが必勝法です。
（１）（あ）22のとき
先手は２を選び、22－２＝20を黒板に書きます。
後手は２を選び、20－２＝18を黒板に書きます。
ここで先手は８を選び、18－８＝10を黒板に書きます。
後手は１を選び、10－１＝９を黒板に書きます。
先手が９を選び、９－９＝０を書けば勝ちです。
（い）15のとき、先手は５を選んで10を書けば必ず勝てます。
（え）41のとき、先手は１を選んで40を書けば必ず勝てます。
しかし、（う）30のとき、先手は30－３＝27を黒板に書きます。
次に後手が７を選び27－７＝20を黒板に書くと、後手が必ず勝つことができます。
（２）（１）の結果より、最初に書かれた数字が10の倍数のときは、後手が必ず勝ち、10の倍数でないときは先手が必ず勝ちます。
１から2011の間にある10の倍数の個数は、2011÷10＝201あまり１より201個あります。
したがって、10の倍数でない数字は2011－201＝1810個となります。
このようにゲームの必勝法と必ず負ける「必敗法」は表裏一体であるということです。
つい、勝つことばかりに目が行きますが、どうなれば負けてしまうのかを考え、相手がそのようになることを考えるのがポイントです。
【正解】
（１）（あ）○ （い）○ （う）× （え）○
（２）1810通り
開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う
問題 ２００６ 灘中（2日目）４
図のような箱とボールを準備し、４つの箱にボールを１つずつ入れて、Ａ君とＢ君の２人が次の（ア）、（イ）、（ウ）のルールにしたがってゲームをする。
（ア） 下の表のはじめから指示にしたがって矢印方向に進む
（イ） 取り出したボールはどの箱にももどさない
（ウ） 下の表のおわりまで進んだとき、最後のボールを取り出した者を勝ちとする
たとえば下の図のようにボールを入れたとき、Ａ君が２の箱を選ぶと、②のボールが取り出され２の箱は空になるのでＢ君と交代し、
Ｂ君が１の箱を選ぶと、③、④、①の順にボールが取り出されておわりまで進み、Ｂ君の勝ちとなる。
次の各問いに答えなさい。
（１） １から４まで番号のついた４つの箱に１から４まで番号のついた４つのボールを１つずつ入れる方法は全部で何通りありますか。
（２） （１）のうち、Ａ君が４つのボールをすべて取り出して勝つようなボールの入れ方は全部で何通りありますか。
（３） （１）のうち、Ｂ君が勝つようなボールの入れ方は全部で何通りありますか。
【解説】
（１）
１、２、３、４の順に箱にボールを入れていくとすると、
１の箱に入れるボールの選び方は４通り
２の箱に入れるボールの選び方は３通り
３の箱に入れるボールの選び方は２通り
４の箱に入れるボールの選び方は１通りなので、
４×３×２×１＝24
答え 24通り
（２）
Ａ君が４つのボールを全て取り出して勝つ、ということはＢ君に１度も順番を回さない、ということになります。
（自分の順番のときには少なくとも１個はボールを取り出すので）←ポイントNo.29
Ｂ君に順番が回るのは、取り出したボールの数字と箱の数字が同じときです。
したがって、４つの箱すべて箱の数字と入っているボールの数字が異なるときになります。
表にして調べてみましょう。
このうち、「２１４３」の場合は、
箱２から①を取る⇒箱１を見る⇒②を取る⇒箱２を見ると空⇒Ｂ君に交代
となるため問題の条件に合いません。
「３４１２」「４３２１」もこれと同じことがおこるので、この３つを除いた６通りが答えになります。
答え ６通り
（３）
Ｂ君が勝つ場合を考えると、
（ア）Ａ君が１個取って交代⇒Ｂ君が残り３個取って勝ち
（イ）Ａ君が２個取って交代⇒Ｂ君が残り２個取って勝ち
（ウ）Ａ君が３個取って交代⇒Ｂ君が残り１個取って勝ち
（エ）Ａ君が１個取って交代⇒Ｂ君が１個取って交代⇒Ａ君が１個取って交代⇒Ｂ君が１個取って勝ち
という４通り考えられます。
それぞれの場合についてボールの入れ方を考えます。
（ア）の場合
箱と同じ数字のボールが入っている箱が１箱だけあり、残り３箱の数字と入っているボールの数字が同じではない場合です。
例えば、箱１に①が入っている場合を考えます。
以上２通りになります。
これは２の箱が同じとき、３の箱が同じとき、４の箱が同じときでも２通りずつになりますので、
２×４＝８通りになります。
（イ）の場合
（１）で出てきた「２１４３」の場合がこれに該当します。
つまり、箱の数字と入っているボールが２組逆になっている状態です。
表より３通り入れ方があります。
（ウ）の場合
これは（ア）の場合と入れ方は同じになります。
箱との数字が等しいボールを選べば（ア）の場合になり、等しくないボールを選べば（ウ）の場合となります。
（エ）の場合
全て1回ずつボールを取って交代していますので、全ての箱で箱の数字と入っているボールの数字が等しい場合になります。
そのような入れ方は１通りになります。
したがって、８＋３＋１＝12通りが答えとなります。
答え 12通り
前回のチャレンジ問題の答え
問題
３けたの整数のうち、次の条件を満たすものを「良い整数」とよぶことにします。
条件：３けたの整数を２つの整数に分けてその和を考えると、常にもとの整数の約数になっている。
（例）330は３と30に分けても、33と0に分けても和が33になり、330の約数になっています。
このため、330は「良い整数」となります。
ですが、702は7と02に分けた場合は7＋2＝9となり、702の約数になりますが、70と2に分けてしまうと、70＋2＝72は702の約数にはなりません。
よって、702は「良い整数」ではありません。
一の位が0でない「良い整数」を４個求めなさい。
（2010 算数オリンピックファイナル）
【解説】
３けたの整数をＡＢＣと表します。この記号を用いて、問題文の条件を式にします。
（ＡＢ＋Ｃ）がＡＢＣの約数である、ということは
ＡＢＣが（ＡＢ＋Ｃ）の倍数である、ということになります。
それは、ＡＢＣ＝（ＡＢ＋Ｃ）×○ と表せます。
また、ＡＢＣはＡＢ×１０＋Ｃとも表せますので、
ＡＢ×１０＋Ｃ＝（ＡＢ＋Ｃ）×○ になります。
そして、（ＡＢ＋Ｃ）＝（ＡＢ＋Ｃ）×１という式との差を考えます。
ここで、Ｃは０ではないので、ＡＢとＡＢ＋Ｃは異なる数になります。
したがって、（ＡＢ＋Ｃ）は９の倍数、という関係が見つかりました。
ＡＢ＋Ｃは11以上108以下の倍数です。場合分けして考えていきます。
★ＡＢ＋Ｃ＝１８のとき
ＡＢ×９＝１８×（○－１）＝２×９×（○－１）
より、ＡＢは２の倍数になります。
あてはまるＡＢとＣの組合せは、
（１０、８）（１２、６）（１４、４）（１６、２）です。
★ＡＢ＋Ｃ＝２７のとき
ＡＢ×９＝２７×（○－１）＝３×９×（○－１）
より、ＡＢは３の倍数になります。
あてはまるＡＢとＣの組合せは、
（１８、９）（２１、６）（２４、３）です。
以下、ＡＢ＋Ｃ＝３６のときＡＢは４の倍数になりますので、
（２８、８）（３２、４）
ＡＢ＋Ｃ＝４５のときＡＢは５の倍数になりますので、
（４０、５）
ＡＢ＋Ｃ＝５４のときＡＢは６の倍数になりますので、
（４８、６）
ＡＢ＋Ｃ＝６３のときＡＢは７の倍数になりますので、
（５６、７）
ＡＢ＋Ｃ＝７２のときＡＢは８の倍数になりますので、
（６４、８）
ＡＢ＋Ｃ＝８１のときＡＢは９の倍数になりますので、
（７２、９）
ＡＢ＋Ｃが９０、９９、１０８になるときは条件を満たす数字はありません。
これで14個まで絞れましたので、あとは表を使って調べましょう。
したがって、答えは○のついた５つの数字になります（このうちの４つを答えれば正解です）。
答え １０８、２１６、３２４、４０５、６４８（のうち４つ）
今日のポイントを使って問題にチャレンジ！
問題
３枚の皿に石がそれぞれ１個、４個、５個のっています。
その皿からＡ君、Ｂ君の順に交互に石を取っていくゲームをします。
ルールは次のようになります。
・自分が取る順番のときは、石の残っているいずれか１枚の皿から１個以上の石を取る
・最後の石を取った方が勝ち
最初の石の状態を（１、４、５）と表します。
例えば、最初にＡ君が５個の石ののっている皿から３個の石を取ったとき、残りの石の状態は（１、４、２）となります。
次の各問いに答えなさい。
（１） Ａ君が取る順番のとき、残りの石の状態が（０、２、２）となっていたなら、必ず勝つ方法があるのはＡ君、Ｂ君のどちらですか。
（２） Ａ君が取る順番のとき、残りの石の状態が（１、３、３）となっていたなら、必ず勝つ方法があるのはＡ君、Ｂ君のどちらですか。
（３） このゲームは正しい手順で行うと、先手、後手のどちらかに必勝法があります。必勝法があるのは先手Ａ君、後手Ｂ君のどちらですか。
（２０１１ 高輪 改題）
※解答解説は次回掲載いたします。