今後の目次

第14回　西暦問題いろいろ　← 今週はココ！
第15回　数当て問題～ヒントの読み方～
第16回　数表の読み方・考え方

いろいろな学校の入試問題で、その年の西暦を使った問題が出題されます。
その内容も、計算問題から規則性、数の性質と様々です。
西暦問題は大きく分けて
①数字そのものの性質（約数など）を使った問題
②数字そのものに意味がない（2016回目など）問題
の2種類あります。今回は①の数字そのものの性質を使った西暦問題を題材に、どのように考えていくかのヒントを学んでいきましょう。

ポイントが身につく問題実践講座

【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。

正解はこちら

どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。

今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、西暦の数字の特徴をとらえて解く問題です。
その特徴をとらえるためのポイントを２つご紹介します。

開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う

【解説】

どこから手をつけてよいか迷います。
しかし、問題文にヒントは隠されています。
問題文に下線が引かれて強調されている部分がヒントになります。
つまり、下線が引かれた３つの場合に分けて考えていくと解きやすくなります。

①アが整数のとき ＜ア＞＝ア＝54より、

27×54＝1458より、

②アが０と１の間の分数のとき

ここで、

←ポイントNo.１
イは27の約数になりますので、３、９、27が考えられます。
しかし、イのほうがウより大きい数ですので、考えられる（イ、ウ）の組み合わせはありません。

③アが１より大きい分数のとき

②の場合と同じく、ウは27の約数ですから３、９、27になります。
そこでイ、ウ、エの組み合わせを「ウはエより大きい」「ウとエは互いに素（最大公約数が１）」という２つの条件に注意しながら表にしていきます。
ただし、小さいほうから５番目と大きいほうから５番目を答える問題なので、整数の部分（イ）の５番目までを書き出せばよいことになります。

よって、小さいほうから５番目は

大きいほうから５番目は、

前回のチャレンジ問題の答え

【解説】

（１）Ａ君の石の取り方は、「２個の石を取る」「２個のうち１個の石を取る」の２通り考えられます。 それぞれの場合を考えていきます。

①２個の石を取る場合
Ｂ君が取る順番のとき、残りの石は（０、０、２）になっています。
この場合Ｂ君は残った２個とも取れば勝ちになります。

②２個のうち１個の石を取る場合
Ｂ君が取る順番のとき、残りの石は（０、１、２）になっています。
ここでＢ君の取り方は「１個ある皿から１個取る」「２個ある皿から１個取る」「２個ある皿から２個取る」の３通り考えられます。

しかし、「１個ある皿から１個取る」場合と、「２個ある皿から２個取る」場合は、次のＡ君の順番で必ずＡ君が最後の石を取り勝ってしまうため、Ｂ君はその取り方を選べません。

「２個ある皿から１個取る」場合、次のＡ君の順番のとき（０、１、１）になっています。
このときＡ君は１個取るしかできずその次のＢ君の順番のときに、Ｂ君が最後の石を取ることになります。

したがって、Ａ君がどのように取ってもＢ君が必ず勝てる取り方が存在するため、必ず勝つのはＢ君になります。

答え　Ｂ君

（２）石の取り方がたくさん考えられますので、表に整理して考えます。
ただし、（１）の結果から次のことがわかっています。
★相手に（０、０、□）の状態で順番を回すと相手が必ず勝つので、そのように残る取り方はしない。
★相手に（０、１、２）の状態で順番を回すと相手が必ず勝つので、そのように残る取り方はしない。
★相手に（０、１、１）の状態で順番を回すと自分が必ず勝つので、そのように残る取り方を選ぶ。
★相手に（０、２、２）の状態で順番を回すと自分が必ず勝つので、そのように残る取り方を選ぶ。

Ａは１回目で自分が必ず勝てる（０、１、１）や（０、２、２）にはできません。
そこでまず「１個の皿から１個の石を取った場合」を考えます。

この場合、Ｂ君がどのように取っても、それぞれの場合に対してＡ君が必ず勝つ取り方が存在します。
したがって、必勝法があるのはＡ君になります。

なお、Ａ君が最初に「３個の皿から１個取る場合」も必ずＡ君が勝ちます。
なぜなら、Ｂ君の全て取り方に対して、
Ａ（１、２、３）⇒Ｂ（０、２、３）⇒Ａ（０、２、２）必勝
Ａ（１、２、３）⇒Ｂ（１、１、３）⇒Ａ（１、１、０）必勝
Ａ（１、２、３）⇒Ｂ（１、０、３）⇒Ａ（１、０、１）必勝
Ａ（１、２、３）⇒Ｂ（１、２、２）⇒Ａ（０、２、２）必勝
Ａ（１、２、３）⇒Ｂ（１、２、１）⇒Ａ（１、０、１）必勝
Ａ（１、２、３）⇒Ｂ（１、２、０）⇒Ａ（１、１、０）必勝
と必ず勝てる取り方があるからです。

逆にＡ君が最初に「３個の皿から２個取る場合」や「３個の皿から３個取る場合」はＢ君が（０、１、１）の状態になるように石を取れるため必ずＢ君が勝つことになります。

答え　Ａ君

（３）
（１）と（２）の結果より、
（０、□、□）または（１、２、３）と残るように石を取れば必ず勝つことがわかりました。（□は同じ数が入ります）
例えば（０、□、□）のときは、相手が取った個数と同じだけ別の皿から石を取れば、必ず（０、１、１）の状態を残すことができます。

ではこのゲームのスタート（１、４、５）のときはどうでしょう。
Ａ君が１回目で必勝となる個数を残せれば、Ａ君が必ず勝ちます。
Ａ君の考えられる取り方とその残り個数は、
（１、４、５）⇒（０、４、５）
（１、４、５）⇒（１、３、５）
（１、４、５）⇒（１、２、５）
（１、４、５）⇒（１、１、５）
（１、４、５）⇒（１、０、５）
（１、４、５）⇒（１、４、４）
（１、４、５）⇒（１、４、３）
（１、４、５）⇒（１、４、２）
（１、４、５）⇒（１、４、１）
（１、４、５）⇒（１、４、０）
となり、必勝パターンにすることはできません。

逆にＢ君は自分の順番のときに、Ａ君がどのように取っても必ず必勝となる個数を残せる取り方があります。
（１、４、５）⇒（０、４、５）⇒（０、４、４）
（１、４、５）⇒（１、３、５）⇒（１、３、２）
（１、４、５）⇒（１、２、５）⇒（１、２、３）
（１、４、５）⇒（１、１、５）⇒（１、１、０）
（１、４、５）⇒（１、０、５）⇒（１、０、１）
（１、４、５）⇒（１、４、４）⇒（０、４、４）
（１、４、５）⇒（１、４、３）⇒（１、２、３）
（１、４、５）⇒（１、４、２）⇒（１、３、２）
（１、４、５）⇒（１、４、１）⇒（１、０、１）
（１、４、５）⇒（１、４、０）⇒（１、１、０）
したがって、このゲームで必勝法があるのはＢ君になります。

答え　Ｂ君

今日のポイントを使って問題にチャレンジ！

※解答解説は次回掲載いたします。