第15回 数当て問題～ヒントの読み方～
今後の目次
第15回 数当て問題～ヒントの読み方～ ← 今週はココ！
第16回 数表の読み方・考え方
第17回 立体の展開図
今回は数学オリンピックでよく出題される「数当て問題」を取り上げます。与えられたヒントをもとに数字を絞りこんでいく、論理的思考が試される問題です。中学入試では少しレベルが高い内容になりますが、論理的思考は開成・筑駒・灘中を突破するためには不可欠です。難しさとしては、「①問題に条件（ヒント）が少なく、どう進めていいかわからないので難しい」になります。今回は、ヒントの読み方を学んでいきましょう。
ポイントが身につく問題実践講座
問題
博之くんと太郎くんが数当てゲームをしています。
まず、博之くんが各けたの数字がすべてことなる４けたの整数を１つ決めて太郎くんに見えないように紙に書いてふせます。それを当てようと太郎くんが４けたの数字をいいます。
数字もけたも合っていれば○、数字は合っていてもけたがちがっていれば△となります。
たとえば、博之くんが1234と整数を決めて、太郎くんが1354というと、
○２つ△１つとなります。
次の文章を読んで問題に答えなさい。
太郎「9856でどう？」
博之「○が１つ△が１つだね」
太郎「じゃあ6972では？」
博之「これも○が１つ△が１つだね」
太郎「3058だとどう？」
博之「これも○が１つに△が１つだよ」
太郎「4732では？」
博之「これは△２つだ」
太郎「うーん、なかなか当たらない。8369はどう？」
博之「これも△２つだね」
（問１）
ここまでの会話から博之くんの決めた数字として考えられるものを４通り答えなさい。
この後、博之くんは自分の決めた４けたの整数をはじめからかんちがいして答えていたことに気づきました。
博之「ごめん、数字をかんちがいしていた」
太郎「え～、そんな～」
博之「１けただけ数字をかんちがいしていたよ。さっき言った中で、4732に対する答えだけ変化するね。正しくはそこが○１つと△１つだったよ」
太郎「ちょっと待ってね。……わかった！じゃあ博之くんが決めた整数は だね？」
博之「大正解！よくわかったね」
（問２）
博之くんがはじめに考えて書いた４けたの整数を求めなさい。
（２００８ 算数オリンピックファイナル）
【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。
どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。このゲーム一度は遊んだことがある方もいらっしゃるのではないでしょうか？どうやって使われている数字を決めていくのか、そしてその数字の場所をどうやって確定させていくのか、そこがこの問題のポイントです。
今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。今回は、その中から「ヒントを読み解いていくためのポイント」を２つご紹介します。
今回使うポイント
- ヒントの整理の仕方がよくわからない
⇒【ポイント№30】「近くに並べて、相違を考える」 - 論理的に考えていくやり方がわからない
⇒【ポイント№31】「論理＝候補の正確な調べの作業」
【ポイント№30】「近くに並べて、相違を考える」
まずは（問１）です。太郎くんの全ての質問と、それに対する博之くんの回答を表にしてみましょう。
このようにヒントを近くに並べることで、共通点や違いが見えるようになってきます。和差算や消去算でも同じ記号を縦に並べると、そのあとの計算がわかりやすくなるのと同じ理由です。
まずは同じ数字が何個入っているかを調べます。
９８５６と６９７２⇒２個
９８５６と３０５８⇒２個
９８５６と４７３２⇒０個
９８５６と８３６９⇒３個
６９７２と３０５８⇒０個
６９７２と４７３２⇒２個
６９７２と８３６９⇒２個
３０５８と４７３２⇒１個
３０５８と８３６９⇒２個
４７３２と８３６９⇒１個
となり、９８５６と４７３２⇒０個、９８５６と８３６９⇒３個、
６９７２と３０５８⇒０個が特徴的であることがわかります。
特に、共通する数字が０個というのが大きなヒントです。
○でも△でも、その個数だけ４ケタの中に使われている数字があるわけですから、９８５６の中に２個、４７３２の中に２個、答えの数字が入っています。ということは、ここで使われなかった０と１は博之くんが選んだ整数の中に使われていないことになります。
同様に、６９７２の中に２個、３０５８の中に２個、答えの数字が入っているということは、ここで使われなかった１と４は博之くんが選んだ整数の中に使われていないことになります。
このことを最初の表に取り入れてみます。
３０５８の０は使われていませんので、３、５、８のうち２つが答えに入っています。同様に、７、３、２のうち２つが答えに入っています。
このことから答えに入っている数は、
「３、５、７、□」「３、５、２、□」「３、８、７、□」
「３、８、２、□」「５、８、７、２」の５通り考えられます。
これは、以前紹介しました【ポイント№４】「候補が５個以下になったら調べの作業」にあてはまりますので、ここからは場合分けをして調べていきます。
【ポイント№31】「論理＝候補の正確な調べの作業」
論理的とは、きちんと筋道を立てて考える、ということです。
先ほどは「０～９の10個の数字のうち、この４つのうち２個、別の４つのうち２個使っていることがわかっているので、残り２個が使われることはない」という論理に従って候補を見つけました。
ここからは、その中に他の条件を満たすものがあるわけですから、条件を考えながら調べます。
（１）「５、８、７、２」の場合
「９８５６⇒○１つ、△１つ」と「６９７２⇒○１つ、△１つ」は条件を満たしますが、「８３６９⇒△２つ」は条件を満たしません。したがって、この場合はありません。
（２）「３、５、７、□」の場合
「３０５８⇒○１つ△１つ」より、□は８ではありません。
「４７３２⇒△２つ」より、□は２でもありません。
「９８５６⇒○１つ△１つ」より、□は６か９
「６９７２⇒○１つ△１つ」より、□はやはり６か９
「８３６９⇒△２つ」より、□はやはり６か９
よって、「３、５、７、６」か「３、５、７、９」が候補になります。
（３）「３、５、２、□」の場合
「３０５８⇒○１つ△１つ」より、□は８ではありません。
「４７３２⇒△２つ」より、□は７でもありません。
「９８５６⇒○１つ△１つ」より、□は６か９
「６９７２⇒○１つ△１つ」より、□はやはり６か９
「８３６９⇒△２つ」より、□はやはり６か９
よって、「３、５、２、６」か「３、５、２、９」が候補になります。
（４）「３、８、７、□」の場合
「３０５８⇒○１つ△１つ」より、□は５ではありません。
「４７３２⇒△２つ」より、□は２でもありません。
「９８５６⇒○１つ△１つ」より、□は６か９
「６９７２⇒○１つ△１つ」より、□はやはり６か９
しかし「８３６９⇒△２つ」より、□に６、９は入りません。
したがって、この場合はありません。
（５）「３、８、２、□」の場合
「３０５８⇒○１つ△１つ」より、□は５ではありません。
「４７３２⇒△２つ」より、□は７でもありません。
「９８５６⇒○１つ△１つ」より、□は６か９
「６９７２⇒○１つ△１つ」より、□はやはり６か９
「８３６９⇒△２つ」より、□に６、９は入りません。
したがって、この場合はありません。
以上（１）～（５）より、使われている４つの数字は
「３、５、７、６」「３、５、７、９」「３、５、２、６」「３、５、２、９」の４通りになります。
あとは数字の並べ方です。ここでは、○１つ△１つのヒントから考えます。
（ア）「３、５、７、６」の場合
「９８５６」のヒントから、「○○５○」か「○○○６」
「６９７２」のヒントから、「６○○○」か「○○７○」
「３０５８」のヒントから、「３○○○」か「○○５○」になります。
３つとも満たすのは「６○５○」か「３○７６」になります。
「６○５○」は「６３５７」か「６７５３」になりますが、
６３５７だと「８３６９⇒△２つ」に矛盾し、
６７５３だと「４７３２⇒△２つ」に矛盾しますのであり得ません。
「３○７６」は「３５７６」になります。これは８３６９、４７３２どちらの条件も満たしますので、答えのうちの１つになります。
（イ）「３、５、７、９」の場合
「９８５６」のヒントから、「○○５○」か「９○○○」
「６９７２」のヒントから、「○９○○」か「○○７○」
「３０５８」のヒントから、「３○○○」か「○○５○」になります。
３つとも満たすのは「○９５○」だけになります。
「○９５○」は「７９５３」になります。
これは８３６９、４７３２どちらの条件も満たしますので、答えのうちの１つになります。
（ウ）「３、５、２、６」の場合
「９８５６」のヒントから、「○○５○」か「○○○６」
「６９７２」のヒントから、「６○○○」か「○○○２」
「３０５８」のヒントから、「３○○○」か「○○５○」になります。
３つとも満たすのは「６○５○」か「○○５２」になります。
「６○５○」は「６３５２」か「６２５３」になりますが、
６３５２だと「８３６９⇒△２つ」に矛盾します。
６２５３だとどちらにも矛盾しませんので答えの１つです。
「○○５２」は「６３５２」になりますが、先ほどと重複しますので調べる必要はありません。
（エ）「３、５、２、９」の場合
「９８５６」のヒントから、「○○５○」か「９○○○」
「６９７２」のヒントから、「○９○○」か「○○○２」
「３０５８」のヒントから、「３○○○」か「○○５○」になります。
３つとも満たすのは「○９５○」か「○○５２」になります。
「○９５○」は「２９５３」になります。
これは８３６９、４７３２どちらの条件も満たしますので、答えのうちの１つになります。
「○○５２」は「３９５２」か「９３５２」になりますが、３９５２は３０５８の条件に、９３５２は９８５６の条件に矛盾しますので、この場合はありません。
以上（ア）～（エ）で見つかった４つの整数が答えになります。
（問１）【正解】 ２９５３、３５７６、６２５３、７９５３
（問２）解説
せっかく４つまで絞ったのに、博之くんから回答が間違っていた、と大変なことが知らされました。
しかし、変わる回答は４７３２のところだけで、△２つから○１つ△１つへと「使われている数字の個数」は変わりません。
したがって、（問１）で調べたうち、
・０、１、４が使われていない
・全ての回答と使われている個数のヒントを満たすのは
「３、５、７、６」「３、５、７、９」「３、５、２、６」「３、５、２、９」の４通りになる
ところまでは問題ないことになります。
ここから調べていくことになります。
（ア）「３、５、７、６」の場合>
「９８５６」のヒントから、「○○５○」か「○○○６」
「６９７２」のヒントから、「６○○○」か「○○７○」
「３０５８」のヒントから、「３○○○」か「○○５○」
「４７３２」のヒントから、「○７○○」か「○○３○」になります。
４つとも満たすのは６７５３だけです。
これは「８３６９⇒△２つ」も満たします。
（イ）「３、５、７、９」の場合
「９８５６」のヒントから、「○○５○」か「９○○○」
「６９７２」のヒントから、「○９○○」か「○○７○」
「３０５８」のヒントから、「３○○○」か「○○５○」
「４７３２」のヒントから、「○７○○」か「○○３○」になります。
４つとも満たす組合せはありません。
（ウ）「３、５、２、６」の場合
「９８５６」のヒントから、「○○５○」か「○○○６」
「６９７２」のヒントから、「６○○○」か「○○○２」
「３０５８」のヒントから、「３○○○」か「○○５○」
「４７３２」のヒントから、「○○３○」か「○○○２」になります。
４つとも満たす組合せはありません。
（エ）「３、５、２、９」の場合
「９８５６」のヒントから、「○○５○」か「９○○○」
「６９７２」のヒントから、「○９○○」か「○○○２」
「３０５８」のヒントから、「３○○○」か「○○５○」
「４７３２」のヒントから、「○７○○」か「○○３○」になります。
４つとも満たす組合せはありません。
したがって、（ア）～（エ）より答えが決まります。
この数当てゲームの考え方は、
① ４つの数字を重複しないように質問し、使われている４つの数字を確定させる
② ○、△のヒントからどの位にどの数字が入るかを絞り込んでいく
が基本的な戦略となります。ぜひ、みなさんも遊んでみてください。
（問２）【正解】 ６７５３
開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う
問題
物のおよその値段をきかれたとき、A君はその値段の10の位で切り捨てて答え、B君は10の位で四捨五入して答えます。次の問いに答えなさい。
（１）ある物のおよその値段をきかれて、B君が700円と答えました。A君は何円と答えますか。考えられるものをすべて答えなさい。
（２）「りんごを３個買ったらおよそいくらですか。」ときかれて、A君は200円と答え、B君は300円と答えました。りんごは１個いくらですか。ただし、りんご１個の値段に10円未満の端数はありません。
（３）「バナナを９本とみかんを12個買ったらおよそいくらですか。」ときかれて、A君もB君も500円と答えました。また、「バナナを18本とみかんを25個買ったらおよそいくらですか。」ときかれて、A君もB君も1100円と答えました。バナナとみかんはそれぞれ１個いくらですか。ただし、バナナ１本とみかん１個の値段に10円未満の端数はありません。
（１９９３ 筑波大学付属駒場中２）
【解説】
（１）Ｂ君が700円と答えるのは、650円以上749円以下です。
650円以上699円以下の場合⇒Ａ君は600円と答える
700円以上749円以下の場合⇒Ａ君は700円と答える
したがって、Ａ君が答える値段は600円、700円です。
答え 600円、700円
（２）Ａ君が200円と答えるのは200円以上299円以下のときです。
Ｂ君が300円と答えるのは250円以上349円以下のときです。
この２つを並べてみます。←ポイント№30
りんご1個の値段は250÷３＝83.333…円以上
299÷３＝99.666…円以下となります。
りんご1個の値段は10の倍数になりますので、90円となります。
答え 90円
（３）まずはバナナ９本とみかん12個の場合を考えます。
次に、バナナ18本とみかん25個の場合を考えます。
バナナ、みかんの値段はともに10の倍数ですから、
バナナ９本みかん12個⇒500円、510円、520円、530円、540円
バナナ18本みかん25個⇒1100円、1110円、1120円、1130円、1140円
このように並べてみると何か気づくことはないでしょうか？
←ポイント№30
バナナが９本と18本、ちょうど２倍になっています。
そしてみかんは12個と25個、２倍＋１個になっています。
つまり（バナナ９本みかん12個の値段）×２＋みかん１個の値段
＝バナナ18本＋みかん25の値段、になるわけです。
ここに注意して調べていきます。←ポイント№31
（ア）バナナ９本みかん12個＝500円のとき
500×２＝1000より、みかん１個の値段で考えられるのは、
100円、110円、120円、130円、140円になります。
しかし、12個買うとすべて500円より大きくなってしまうため、条件を満たすものはありません。
（イ）バナナ９本みかん12個＝510円のとき
510×２＝1020より、みかん１個の値段で考えられるのは、
80円、90円、100円、110円、120円になります。
しかし、12個買うとすべて500円より大きくなってしまうため、条件を満たすものはありません。
（ウ）バナナ９本みかん12個＝520円のとき
520×２＝1040より、みかん１個の値段で考えられるのは、
60円、70円、80円、90円、100円になります。
しかし、12個買うとすべて500円より大きくなってしまうため、条件を満たすものはありません。
（エ）バナナ９本みかん12個＝530円のとき
530×２＝1060より、みかん１個の値段で考えられるのは、
40円、50円、60円、70円、80円になります。
このうち40円のときだけ、12個の値段が480円となります。
しかし、バナナ１本は（530－480）÷９＝5.55…となり、10の倍数にならず、条件を満たしません。
（オ）バナナ９本みかん12個＝540円のとき
540×２＝1080より、みかん１個の値段で考えられるのは、
20円、30円、40円、50円、60円になります。
先ほど40円のときは条件を満たさないことがわかりました。
みかん１個＝30円のとき、バナナ1本は
（540－30×12）÷９＝20円 で条件を満たします。
みかん１個＝20円のとき、バナナ１本は
（540－20×12）÷９＝33.333…円で10の倍数にならず条件を満たしません。
（ア）～（オ）より、バナナ１本20円、みかん１個30円になります。
答え バナナ１本：20円 みかん１個30円
前回のチャレンジ問題の答え
問題
下のア、イ、ウ、エに当てはまる整数を求めなさい。
ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウ＋エ×エ＝２０１７
ただし、ア、イ、ウ、エは以下の条件を満たす全て異なる数です。
（条件）
・イ、ウ、エはアの約数
・ウ、エはイの約数
・エはウの約数
（受験Dr.オリジナル問題）
【解説】
エがウの約数である、ということから、ウはエの倍数になります。
同様に、イもアもエの倍数になります。
したがって、ア×ア、イ×イ、ウ×ウはエ×エの倍数になり、2017もエ×エの倍数になります。
2017を素因数分解してみると……、どの素数でも割り切れません。
そうです、2017は素数なのです（おぼえておくと良いです）。
このことから、2017の約数は１か2017しかありませんから、エ×エ＝１より、エ＝１となります。
式を整理して、ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウ＝2016 です。
ここで、ア、イはウの倍数ですから、2016はウ×ウの倍数になります。
2016＝ウ×ウ×□ 2016を素因数分解して、
２×２×２×２×２×３×３×７＝ウ×ウ×□
となります。
したがって、ウにあてはまる数は、２、３、４、６、12が考えられます。
ここで、ア×ア＝ウ×ウ×○×○
イ×イ＝ウ×ウ×△×△ とすると、
2016＝ウ×ウ×（１＋△×△＋○×○）になります（△＜○）
（１）ウ＝２のとき
△×△＋○×○＝503
この式を満たす整数○、△はありません。
（２）ウ＝３のとき
△×△＋○×○＝223
この式を満たす整数○、△はありません。
（３）ウ＝４のとき
△×△＋○×○＝125
この式を満たす整数○、△は、○＝10．△＝５があります。
このとき、ア＝40、イ＝20、ウ＝４は条件も満たしています。
（４）ウ＝６のとき
△×△＋○×○＝55
この式を満たす整数○、△はありません。
（５）ウ＝12のとき
△×△＋○×○＝13
この式を満たす整数○、△は○＝３、△＝２があります。
しかし、このときのア＝36、イ＝24は約数の条件を満たしていません。
したがって、ア＝40、イ＝20、ウ＝４、エ＝１が答えです。
答え ア＝40、イ＝20、ウ＝４、エ＝１
今日のポイントを使って問題にチャレンジ！
問題
１～６の数字を１つずつ使われている６けたの整数があります。
いま、Ａ～Ｅの５人でこの整数を当てるゲームをしています。
Ａ「数字は１２３４５６かな？」
Ｂ「いやいや数は６５４３２１だよ」
Ｃ「二人ともちがうよ。きっと５６３２４１だ」
Ｄ「そうかしら？２４５６３１の気がするわ」
Ｅ「なんにもヒントなしだから当たるはずがないよ。５４２１６３？」
Ａ～Ｅの答えた整数はすべて正解とはことなりました。さらに、けたと数字が一致した個数は全員ことなりました。正解の６けたの整数を答えなさい。
（２０１５ 算数オリンピックファイナル）
※解答解説は次回掲載いたします。