【ポイント№36】「図形の転がりは辺・頂点で探す」

（１） 正四面体は辺をくっつけて転がります。
底面が三角形なので、３本の辺でくっついていることになります。
そこで、今いる場所から３方向に転がすことができます。

そこで１回ずつ操作していきます。

★からつながっている３か所に移動できます。

１からつながっている所に移動できますが、はじめてたどりついた場所なので、既に数字や記号がある場所は除きます。 したがって、２と書かれたマスにはじめて移動することができます。

３回目、４回目も同様です。
これで、はじめてたどりつける三角形の個数がわかります。
次は、「そのうち☆の面が重なるものの数」です。
正四面体に頂点Ａ～Ｄの名前をつけます。

☆の面が底面になっているとき、頂点Ｂ～Ｄが接しています。頂点Ａだけが接していません。このＡが接していないときがポイントです。

先ほどの図で頂点Ａの位置を考えます。
まず★の位置にいるとき、頂点Ａは真上にありますので、ここから倒した３方向の先に頂点Ａがくることになります。

ここで、Ａを中心とする正六角形に注目します。
ここでは、頂点Ａを中心に正四面体が転がることになります。

つまり、 この正六角形の面では必ず頂点Ａが底面にあることから☆の面が下にくることはありません。

そして、この正六角形の位置から外側に倒れると必ず☆の面が下にくることになります。

そこで先ほどの図を色分けすると、下のようになります。
ここで点アを考えます。ピンク色の三角形は頂点Ａが上にきている正四面体ですから、そこから倒れた場所にある点アは必ず頂点Ａとなります。
したがって、ピンク以外の三角形はすべて青色ということになります。

（２）
８回以下の操作でコマが移動できる三角形、というのは
８回以下の回数で『はじめてコマがたどりつける三角形』の合計はいくつですか？という意味です。

そこで、（１）の結果を表にして規則性を考えます。

ここで５回目の操作を描いて調べる前に数値の予想をしましょう。
三角形の数は、３ずつ増えていますので15と予想できます。
☆の面も０、３、６ときていますので、９と予想できます。

では、この予想が正しいか確認しましょう。

しかし、☆の数は予想と異なり３個でした。

三角形のほうは予想どおり３ずつ増やしていけばＯＫです。
☆の方は増えずに減っています。これは「群数列」の可能性が大です。
群数列はいくつかの数字がグループとなって、グループ全体であるきまりを持って変化していく数列です。 そこで（２）で問われている８回目まで調べていきます。


これで（２）の答えは求められます。

（３）（２）から問題になっている、☆の面の数の規則です。
規則については、確実にわかるまではその先に進まないのが鉄則です。
確証を得るために、９回目の操作によって、☆が下にくる個数を考えます。先ほどの図で、「８」に接している赤い三角形の数を数えます。
すると、６個ということがわかります。

３～５回目のところで「３、６、３」
７～９回目のところで「６、12、６」と同じ動きでちょうど２倍になりました。

あとは10回目、11回目を調べて、「０の個数の規則」と「数字の増え方の規則」を見つけ出します。

ここからこの群数列のきまりが確定しました。
・2回目から４個ずつのグループになる。
・各グループは「０、Ａ、Ｂ、Ａ」という形になっている。
・各グループのＡは３の倍数でふえている。（３、６、９…）
・同じグループの中で、Ｂは必ずＡの２倍になっている。

したがって、100回目までの合計を考えるときも、グループごとに合計を考えていきます。
２～５回目　３＋６＋３＝12
６～９回目　６＋12＋６＝24
　　・
　　・
94～97回目　72＋144＋72＝288
98～100回目　０＋75＋150＝225

12＋24＋・・・＋288＋225＝（12＋288）×24÷２＋225＝3825
となります。

ポイントを使って開成・筑駒・灘の問題を解こう！

【解説】

（１）１回で終わることはありません。
２回で終わるのは図２の１通りで、 最初に動かす方向が３通りありますので、全部で３通りです。
そこで、３回～６回で終わる動かし方があるか考えます。

①から動かした場所に、その回数の数字を書き入れます。
いくつかの進み方が考えられますので、そのうちの１つだけを考えます。２回目まで動かします。

３回目は、２と辺がくっついている左か下に動かせます。 　←ポイント№36
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
４回目は、それぞれの３に隣り合っている２方向に進めます。
６回以下の回数で①に戻るためには、５回目の操作が終わった時点で、上の図のアかイの位置に来ないといけません。
そのような進み方はこの場合１つあることがわかります。

つまり、６回で①に戻る進み方は正六角形を描くように動かす方法（図３）のみということになります。

１回目に①から動かす方向が３通りあり、２回目に時計回りに進むか反時計回りに進むかで２通り選べますので、３×２＝６通りあります。

したがって、６回以下で終わるものは全部で３＋６＝９通りになります。

答え　（１）９通り

（２）
移動回数が10回で終わるということは、８回目の移動が終わったときにある決まった場所に来る必要があります。

例えば、１回目にアの三角形に進んだときを考えます。
10回目に①に戻るためには、９回目にイかウの三角形に来ないといけません。ということは、 その１つ前の８回目にエ～キの三角形にいる必要があります。

また１回目にアに進んだ場合、２回目はクかケの三角形に移動します。
この位置から６回の移動でエ～キの位置に来ることができれば、全部で10回の移動により①に戻ることができます。

ここで図形の対称性よりクにいるときとケにいるときは必ず線対称の進み方がありますので、２回目にクにいるときだけを考えます。

ク→エ　下の図の１通りのみ

ク→オ　下の図の１通りのみ

ク→カ　下の図の１通りのみ

ク→キ　下の図のように２通りあります。


よって、１回目にア、２回目にクと移動したとき５通りあることになります。
１回目にア～ウのいずれかに移動し、２回目にそれぞれ左右どちらに進んでも同様に５通りあることから、全部で３×２×５＝30通りになります。

答え （２）30通り

前回のチャレンジ問題の答え

【解説】

いわゆる売買損益の問題に、「為替」の概念が入った問題です。

まず、 通貨単位が複数ある場合は必ず数値の後ろに単位をつけて考えていくようにしましょう。

問題文も長くややこしいので、図にして考えていきます。

このようになります。
（１）では、肉の値段と輸送費の比を求めますので、この段階で２つの金額を同じ割合で表すことはできません。

そこで、先月の肉の値段を①ドル、輸送費を １ドルとおきます。

すると、先月の収支は以下のようになります。

今月は、輸送費が２倍の ２になり、また１ドル＝90円になっています。
今月の収支は以下のようになります。

問題文でわかっている数値関係は、
今月の円での仕入れ費は先月の円での仕入れ費の93.6％
→（①×90）＋（ １×180）＝（①＋ １）×100×0.936　・・・式Ａ

今月の利益は先月の利益より95万円多くなった。
→（①×55.5）－（ １×34.5）＝（①＋ １）×50＋950000円・・・式Ｂ

の２つになります。

式Ａを整理して、
（①×90）＋（ １×180）＝①×93.6＋ １×93.6
→１×（180－93.6）＝①×（93.6－90）
→１×86.4＝①×3.6
→１×24＝①　より、先月の肉の値段は輸送費の24倍です。

答え （１）24倍

そこで、 ①＝ １×24を式Ｂにあてはめます。
（①×55.5）－（１×34.5）＝（①＋１）×50＋950000
→（１×24×55.5）－（１×34.5）＝（１×24＋１）×50＋950000
→（１×1332）－（１×34.5）＝（１×25）×50＋950000
→１×1297.5＝１×1250＋950000
→１×（1297.5－1250）＝950000
→１×47.5＝950000
→１＝950000÷47.5＝20000

したがって、肉の値段①は20000×24＝480000（ドル）になります。

答え （２）480000ドル

ポイントが確認できるチャレンジ問題

※解答解説は次回掲載いたします。