【ポイント№14】「図形の規則は数字を並べて考える」

図形を用いた規則性の問題でも、問われているものは数字（個数・○番目）です。したがって、変化の規則を数字で示すことで問題を解くことができます。
この考え方は難関校に限らず、全ての学校で出題される問題に対しても必要なものです。そして、数字は表などに並べて記すようにしましょう。その方が、規則がわかりやすくなります。

今回は、点を打つ場所によって、三角形が何個増えるのか、まさに「変化の部分」をしっかりと数字でとらえていくことが攻略のポイントです。

（１）問題文の例にある図１、図２で、辺ＡＣと辺ＡＢに最初の点を打った場合の図が描かれています。
直角三角形は線対称な図形ですから、辺ＢＣに最初の点を打つ場合は、図２と同じことになりますので省略します。
それぞれの図から、２つ目・３つ目の点を打つ図を考えましょう。

まずは図１から続ける場合です。
辺ＡＢで点を打てる場所はアかイ、辺ＢＣで点を打てる場所はウかエのどちらかになります。

そして、ア～エのどこに打つとしても、それは図２のように、直角三角形の垂直な辺に点を打つことと同じ分け方になる、ということになります。

どこに点を打っても１つの三角形が３つの三角形に分かれますので、２つ増えることになります。
また、辺ＡＢに打つことと辺ＢＣに打つことは重複せず、線が交わったりしませんので、それぞれ独立して三角形を増やします。
よって、どこに打っても三角形の個数は４＋２＋２＝８個になります。

次に図２から続ける場合です。

辺ＢＣに打つときは１通り、辺ＡＣに打つときは２通り考えられます。
図のオ～キのどこに打っても三角形は２つ増えます。
また、それぞれ独立しており重複することはありませんので、どの場所に点を打っても、三角形は３＋２＋２＝７個になります。
これが考えられる個数の全てになります。

【ポイント№40】「規則性は例や前の問題の答えを利用」

（２）操作を10回行って、ＡＢＣの辺上に点が１個だけの場合です。
これは、最初の１個目だけ辺上に打ち、残りの９個は辺上にない場所に打つことになります。

そこで、どのような場所に点を打つと何個増えるのかを示された図を見て考えましょう。

図３や図４では、２つの三角形に共通する辺に点を打っています。
その場合は、問題文にもあるように２つの三角形に対して線を引きますので、増える三角形の個数も２倍になります。
そして、図３のように「垂直に交わる辺に点を打つ場合」は２つ増え、図４のように「斜辺に点を打つ場合」は３つ増えることもわかります。

このことから最も多い場合と最も少ない場合を考えます。
まずは、最も多い場合です。
多くする点の打ち方は、
・直角三角形の斜辺に打つ
・２つの三角形に共通する辺に打つ
ことになります。

そこで、例に示された図で使いやすいものはないか見てみましょう。
今示した条件を満たすのが図４です。
このあと、次のように点を打っていくと常に３×２＝６個ずつ増えていきます。

したがって、４＋６×（10－１）＝58個が最も多い個数です。

最も少ない場合はどうでしょう。打ち方の条件は、
・直角三角形の垂直な辺に打つ
・２つの三角形に共通しない辺に打つ
となります。

最初の１個目の打ち方は辺ＡＢ（辺ＢＣ）となり、図１になります。
このとき、次の２個目をＡＢＣの辺以外に打つとすると、どうしても２つの三角形に共通の辺に打つことになります。
これは仕方ないので、次に「共通しない辺ができる」ように打ちましょう。そうすると下の図のようになります。

２個目は、ＡＢＣの内側の直線のうち、直角三角形の斜辺ではない方に打ちます。そうすると、青色の太線の部分が「２つの三角形に共通ではない辺」となります。あとは、この部分に点を打っていけば、２個ずつ増えていくだけになります。

よって、最も少ない個数は、
３＋（２×２）＋２×（10－２）＝23個となります。

どんどん書いていって調べるのはもちろんＯＫですが、例で示されている図や、前の設問で描いた図を使い、時間短縮をはかりましょう。
それを意図して作問者も例を決めているわけです。

（３）最後は、（２）の応用です。
最も多い場合から考えます。
最初の点は斜辺である辺ＡＣに打ちます（図１）。
ＡＢＣの辺に打つ残り９個の点も同様に辺ＡＣに打っていきます。

そうすると辺に点を打つたびに、３個ずつ三角形が増えます。
辺に打たない40個の点については、２つの直角三角形に共通している斜辺に打っていきます。

よって、個数は４＋（10－１）×３＋（50－10）×６＝271個
となります。

最も少ない場合はどうでしょう。
まず最初の点は辺ＡＢに打ちます（図２）
次に辺ＡＣに点を打ちます。

そうすると、増える三角形の数も最少の２個で済みますし、同時に「２つの三角形に共通でない辺（青色太線）」も作ることができます。

よって、個数は３＋（10－１）×２＋（50－10）×２＝101個となります。

規則性は思考力だけでなく、問題文の読解力、応用力を試すことができ、入試問題では確実に出題される単元といえるでしょう。しっかり解法を身につけておきましょう。