特別編④ 2016 第25回算数オリンピックファイナル 問題解説（その１）
はじめに
受験Dr.の亀井章三です。いつも「開成・筑駒・灘中！すべて合格大作戦！」をお読みいただきありがとうございます。今回は、いつもの形式を離れた特別編！７月24日（日）に実施された「第25回算数オリンピックファイナル」の問題を１問ずつわかりやすく解説してまいります。
本連載では、いつも応用問題を解くために必要な「解法ポイント」というものをご紹介しています。今回のファイナル問題を解いていくうえでも、もちろんこの「解法ポイント」を使っていくことで簡単に解いていくことができますので、たくさん「解法ポイント」をご紹介してまいります。
【問題１】
３×３のマスがあります。この中に１～９の数字を１つずつ次の２つの規則に従うように入れていきます。
規則①：すべてのたてと横の列を考えると、３つの内で最も大きい数字は残りの２つの数字の和より大きく、その差はすべてのたてと横の列で同じ大きさである。
規則②：たての列の３つの数字の和は、右側の列が最大になるようにする。
図のマスの中に数字を入れて、完成させなさい。ただし、５はすでに入っています。
第１問は１～９を条件に合うようにマス目の中に入れる問題です。規則①をどう使っていくかがポイントです。
このように調べる個数が有限の場合、式だけで何とかしようとするよりも、効率よく調べ出すほうが確実に正解にたどりつけます。そこで次のポイントを使いましょう。
【ポイントNo.５】「計算する調べの作業は表で行う」
が使えます。
それでは解説です。
＜解説＞
規則①を２つの条件に分解します。
条件Ａ「３つの数字の内で最も大きい数字は残りの２つの数字の和より大きい」
条件Ｂ「その差はすべてのたてと横の列で等しい」
条件Ａを満たす３つの数の組合せを、条件Ｂで同じ差ずつ分類していきます。
このような場合、表にして一覧できるようにすると調べやすくなります。
たて、横３列ずつ計６列分の組み合わせがないといけませんので、差４～６はあり得ないことがわかります。
差が３の場合、１が入った組み合わせが４通りあります。
しかし、１は１つのマスにしか入れられず、列としてはたて、横１列ずつの計２列しか使えません。したがって、６通りを作ることはできません。
差が２の場合、１が入った組み合わせが５通りあります。この中から２通り選ぶとすると、残りの（９、５、２）（９、４、３）（８、４、２）（７、３、２）から４通り選ぶことになります。しかし、この中に２を使う組み合わせが３通りあるため、こちらも６通り全てを作ることはできません。
よって、６列全ての差は１で等しくなることがわかります。
このうち１を含むものが６通り。１を含まないものも６通りあります。そして、１を含むものから必ず２通り選びます。
１を含まないもののうち、２を含むものは４通り、２を含まないものが２通りあります。このうち２を含むものから必ず２通り選びますので、１も２も含まない（９、５、３）と（８、４、３）は６列の中に必ず入ることがわかります。
そうすると３は２回出てきましたので、残り４列の中に３が入るものはないことがわかります。まとめると、
（９、７、１）（８、６、１）（７、５、１）（６、４、１）
（４、２、１）から２つ
（９、６、２）（８、５、２）（７、４、２）から２つ選ぶことになります。
ここで、たての列に（９、５、３）という列がある、と仮定します。そうすると、
残りのたての列の中に９と５が入る列はありませんので、（７、４、２）と（８、６、１）が決まります。
横の列は（８、４、３）と仮定されますので、８と４を含まない列は、（９、６、２）（７、５、１）となります。
あとはこの仮定が正しいかどうかです。
９＋５＋３＝１７
７＋４＋２＝１３
８＋６＋１＝１５
となり、５を含む真ん中のたての列の和が一番大きくなるため、規則②に反しています。
よって仮定の「（９、５、３）はたて」という部分が誤りになり、「（９、５、３）は横の列」ということになります。
以上からマス目に入る数字の組み合わせも決まります。横の列の入り方が２通りありますので、答えは次の２通りどちらも正解になります。
答え
【問題２】
図のような１辺の長さが13cmの正六角形ＡＢＣＤＥＦがあり、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋはそれぞれ辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＥＦ、ＦＡ上の点で、ＡＧ＝ＢＨ＝ＣＩ＝ＥＪ＝ＦＫです。
ＧＩとＨＫ、ＧＪとＫＨの交わった点をそれぞれＰ、Ｑとします。ＰＱの長さは何cmですか。
続いての第２問は、正六角形を用いた相似・面積の問題です。
ＰＱの「長さ」を求めるために、どの辺の長さを求め、どの部分の比を求めるのか、作戦をしっかり立てていく必要があります。
＜解説＞
Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋと正六角形の辺を同じ比で分ける点が打たれていますが、ただ１つ辺ＤＥだけ点がありません。
図形の対称性を使うために、辺ＤＥにもＤＧ＝２cmとなる点Ｌを打ちます。そして、ＨＬ、ＬＫ、ＩＪも結んでみましょう。
図形の対称性からＫＨ＝ＨＬ＝ＬＫ＝ＧＩ＝ＩＪ＝ＪＧとなるため、三角形ＫＨＬと三角形ＧＩＪは合同な正三角形になります。また、図形ＧＨＩＪＫＬは正六角形になりますので、（なぜなら、三角形ＡＧＫ、ＢＨＧ，ＣＩＨ、ＤＬＩ、ＥＪＬ、ＦＫＪはすべて合同なので）、
| ＰＱはＫＨの | 1 | の長さになることがわかります。 |
| 3 |
あとはＫＨの長さがわかればＯＫです。
そこで、次の図のように正六角形の外側に正三角形を付け足します。
ＡＢ＝ＡＲ＝13cmより、三角形ＲＳＴは１辺39cmの正三角形になります。
また、ＡＨ＝13＋2＝15cm、ＡＫ＝13＋11＝24cmより、
三角形ＡＫＨの面積は、三角形ＲＳＴの面積の
| 15 | × | 24 | ＝ | 40 | 倍になります。 | |
| 39 | 39 | 169 |
そこで、三角形ＲＳＴの面積を169とおくと、三角形ＫＨＬの面積は、169－40×３＝49となります。
三角形ＲＳＴと三角形ＫＨＬはともに正三角形で相似形です。
よって、面積比が169：49＝13×13＝７×７であるならば、辺の比は13：7となります。
| したがって、ＫＨ＝39× | 7 | ＝21cmとなり、 |
| 13 |
ＰＱ＝21÷３＝７cmです。
答え ７cm
正六角形に辺が引かれているからといって、すぐに相似形を探したりしようとせず、問題の特殊な点に気づいていく感覚が大切です。
次回は問題３、問題４を説明いたします。