特別編① 2016 第25回算数オリンピックトライアル 問題解説（その１）
はじめに
受験Dr.の亀井章三です。
いつも「開成・筑駒・灘中！すべて合格大作戦！」をお読みいただきありがとうございます。
今回は、いつもの形式を離れた特別編！６月12日（日）に実施された「第25回算数オリンピックトライアル」の問題を１問ずつわかりやすく解説してまいります。
本連載では、いつも応用問題を解くために必要な「解法ポイント」というものをご紹介しています。
今回のトライアル問題を解いていくうえでも、もちろんこの「解法ポイント」を使っていくことで簡単に解いていくことができますので、たくさん「解法ポイント」をご紹介してまいります。
【問題１】
次の式のA、B、C、Dは整数の各けたの数字を表し、すべて０以外のことなる数字です。
ABCD＋ABC＋BCD＋AB＋BC＋CD＋A＋B＋C＋D＝2016
このとき、A、B、C、Dそれぞれが表す数字を求めなさい。
第１問は今年の西暦「2016」を題材にした覆面算です。
過去問を解いたことがある方には解きやすかったのではないでしょうか。
このように何ケタかの数字を、記号を使って表した問題には、
【ポイントNo.１】「記号・文字を使って問題文を式に表す」
が使えます。
それでは解説です。
＜解説＞
２けた以上の数については、次のように表していきます。
ABCD=A×1000＋B×100＋C×10＋D×1
ABC=A×100＋B×10＋C×1
BCD=B×100＋C×10＋D×1
AB=A×10＋B×1
BC=B×10＋C×1
CD=C×10＋D×1
これらを問題文の式にあてはめます。
A×1000＋B×100＋C×10＋D×1
＋A×100＋B×10＋C×1
＋B×100＋C×10＋D×1
＋A×10＋B×1
＋B×10＋C×1
＋C×10＋D×1
＋A×1＋B×1＋C×1＋D×1
＝A×（1000＋100＋10＋1）
＋B×（100＋10＋100＋1＋10＋1）
＋C×（10＋1＋10＋1＋10＋1）
＋D×（1＋1＋1＋1）
＝A×1111＋B×222＋C×33＋D×4＝2016
まずはAから考えます。
A×1111が2016より小さいので、Aは０か１になります。
しかし、Aは一番大きい位の数ですから０はありません。
したがって、A=１です。
Aの分を除いて式を書き替えます。
B×222＋C×33＋D×4＝2016－1111＝905
ここで次のポイントを使います。
【ポイントNo.３】「最大値と最小値を考えて範囲を絞る」
C×33＋D×4の最小値はC＝D＝０のときの０
最大値はC＝D＝９のときの333
よってB×222の値は、572以上905以下となりますので
Bは３か４ということになります。
【ポイントNo.４】「候補が５個以下になったら調べの作業」
のポイントに従い、Bが３のときと４のときに分けて調べます。
B＝３のとき
C×33＋D×４＝905－666＝239
これを満たすCとDの組み合わせはC＝７、D＝２があります。
B=４のとき
C×33＋D×4＝905－888＝17
これを満たすCとDの組み合わせはありません。
したがって、A＝１、B＝３、C＝７、D＝２となります。
答え Ａ＝１、Ｂ＝３、Ｃ＝７、Ｄ＝２
【問題２】
０～９が書かれたカードを１枚ずつ、横一列にならべました。
すると、どのとなり合う２枚のカードを見てもその差は３か５のどちらかでした。
図のように、左端が０、右端が１のとき、残りの８個の数字を正しくならべなさい。
続いての第２問は、数字を条件にしたがって並べる調べ上げの問題です。
ここでは両端から同時に樹形図で進めていく解き方を使っていきます。
＜解説＞
０と差が３か５の数は３、５。
１と差が３か５の数は４、６です。
これを樹形図にすると、
次に、左から３番目、右から３番目の数を考えます。
３・・・６か８
５・・・２か８
４・・・７か９
６・・・３か９
ここまでを樹形図に書き加えます。
次に、左から４番目、右から４番目の数を考えます。
６・・・１か９
８・・・３か５か９
２・・・７（５はすでに使っているので×）
３・・・６か８
９・・・４か６
７・・・２か４
ここまでを樹形図に書き加えます。
次に、左から５番目だけ考えます。
既に使われている数字によってかなり制限されてきます。
次に、右から５番目だけ考えます。
これで10個の数字が出そろいました。
左から５番目にある「２、４、６」と右から５番目にある「３、５、７、９」のうち、
差が３か５なのは「２と５」「２と７」「４と７」「４と９」「６と３」になります。
その組み合わせのみ樹形図でつなぎ、数字が重複しない組み合わせを探すと・・・
答えは次のようになります。
【問題３】
あるクラスでは、毎日日直と放課後のそうじ当番が一人ずつ割り振られています。
両方の仕事を同じ日にすることはできません。
ある週の月曜日から金曜日は、Ａ君、Ｂ君、Ｃさん、Ｄさん、Ｅ君が日直とそうじ当番の担当でした。
この週のある日の朝の会話を読んで問いに答えなさい。
Ｂ君「今週は２日連続で日直とそうじ当番の担当なんだよな。いやだな。」
Ｄさん「私は今日日直だ…。明後日はそうじ当番なのね。」
Ｅ君「今週はもうそうじ当番も終わったし、明日の日直をがんばればいいのか。」
Ａ君「昨日のそうじ中に水そうを割ってしまいました。ごめんなさい。」
Ｃさん「ねぇ、Ｄさんは私とそうじ当番の日交換しても日程的に問題ないよね。かわってくれないかな？」
問い：それぞれの曜日の当番がだれであるか答えなさい。
このような会話から推理していく「推理パズル」の問題、まさに算数オリンピックらしい論理的思考が問われる問題です。
普段の受験勉強ではあまり問われないだけに、どれだけ解法を使い慣れているかで差がつくところです。
＜解説＞
最初に考えなくてはいけないのは、「この会話をしている今日は何曜日なのか？」です。
Ａ君とＤさんの会話から、昨日と明後日がある日ということになりますので、今日は火曜日か水曜日となります。
もしも、今日が火曜日だとしたら、Ａ君とＥ君の会話からこうなります。
Ｅ君「もうそうじ当番も終わった」→月曜がそうじ当番
Ａ君「昨日のそうじ中」→月曜がそうじ当番
これは同じ日にそうじ当番が２人いたことになり矛盾しています。したがって、今日は水曜日です。
これにより、次のことがわかります。
・Ｄさんは「水曜の日直」「金曜のそうじ当番」
・Ｅ君は「木曜の日直」「月曜のそうじ当番」
・Ａ君は「火曜のそうじ当番」
次にＣさんの会話を見てみましょう。
「Ｄさんは私とそうじ当番の日交換しても日程的に問題ないよね」
これには２つの意味が隠されています。
１つは、２人ともまだそうじ当番をしていないので、交換しても大丈夫という意味です。
そしてもう１つは、「ＤさんがＣさんとそうじ当番の日を交換しても２人とも日直と同じ日にならない」という意味です。
これにより次のことがわかります。
・Ｃさんのそうじ当番は「水曜」か「木曜」。
しかし、Ｄさんは水曜が日直なので、「木曜のそうじ当番」である。
・Ｃさんは「金曜の日直」ではない。
次に考えるのはＢ君です。
可能性があるのは、日直が月曜か火曜か金曜。
そうじ当番が水曜日だけです。
したがって、Ｂ君は「火曜の日直」「水曜のそうじ当番」と決まります。
日直がまだ決まっていないのはＡ君とＣさん。
曜日は月曜と金曜です。
先ほどのそうじ当番交換のところから、Ｃさんは金曜の日直ではありませんので、月曜の日直がＣさん、金曜の日直がＡ君と決まり、全て確定しました。
答え 日直 月：Ｃ、火：Ｂ、水：Ｄ、木：Ｅ、金：Ａ
そうじ当番 月：Ｅ、火：Ａ、水：Ｂ、木：Ｃ、金：Ｄ