はじめに

受験Dr.の亀井章三です。いつも「開成・筑駒・灘中！すべて合格大作戦！」をお読みいただきありがとうございます。今回は、いつもの形式を離れた特別編！７月24日（日）に実施された「第25回算数オリンピックファイナル」の問題を１問ずつわかりやすく解説してまいります。
　本連載では、いつも応用問題を解くために必要な「解法ポイント」というものをご紹介しています。今回のファイナル問題を解いていくうえでも、もちろんこの「解法ポイント」を使っていくことで簡単に解いていくことができますので、たくさん「解法ポイント」をご紹介してまいります。

問題３は算数オリンピックではよく出題される、会話から数字を当てる数当て問題です。問題文を読むだけでは、みんな「わからない」と言っていて、何がヒントなのか全く見当もつけられません。
この問題を解くためには２つのことがわかっていないといけません。それは、
・１つしか組み合わせがなければ確定する。
・全員同じことを考える
ということです。具体的に解説していきます。

＜解説＞
１～13枚の13枚から２枚を選ぶ組み合わせは、
13×12÷２＝78通りあります。
そのうち、「積が等しくなる組合せ」のみ考えていくと

となります。
そして、Ｂ君とＣ君も、「Ａ君がわからなかった」という事実から、２枚のカードの積は上のどれかになる、ということを
考えることができるわけです。

次にＢ君を考えてみましょう。
先ほどの表の組み合わせまでは考えられますので、「この表の中で「同じ和になる組合せがない」場合、Ｂ君は２枚の組み合わせがわかることになります。
しかし、Ｂ君は「わからない」といいましたので、この表の中で「同じ和になる組合せが２組以上ある」ということになります。

表より和が７、９、11、13、14、16、17になるものまで絞られました。
Ｃ君も同様にここまでは組み合わせを絞り込むことができます。そのうえで「わからない」となるのは、この組み合わせの中で、「差が等しい組み合わせ」ということになります。

表より差が１、３、５、７になるものまで絞られました。
いよいよ２巡目に入りますが、作業は同じことの繰り返しです。ここまで絞られた組み合わせは全員がわかっています。
それでもＡ君が「わからない」ということは、やはり「積が同じになる組み合わせ」であることになります。

これで（２、９）（３、６）（３、10）（５、６）の４組まで
絞られました。
ここまできてもＢ君、Ｃ君が「わからない」というのは、
「和・差ともにこの４組の中で同じになる組合せが他にある」からです。

和が等しくなるのは、（２、９）と（５、６）
差が等しくなるのは、（２、９）と（３、10）
よって、両方に共通する（２、９）が先生の引いた2枚のカードになります。

答え２と９

このような会話だけから数字を当てる問題は、算数オリンピックではよく出題されています。来年以降もチャレンジするお子様は、対策しておくことをおススメします。

問題４は、立体図形の問題です。この問題は今回屈指の難問でした。ヒントが抽象的で使い方が難しい。立体のイメージがつかみにくい。結局どうしていいかわからない。実際の大会では、この問題を後回しにして次の問題に進まれた方が多いのではないでしょうか。そんな難問を以下のポイントを使って解説してまいります。
【ポイント№38】「角度の和が90°、180°となる部分は残す」

＜解説＞
（問い１）問題文にある図形の条件を整理しますと、
　角ＢＡＣ＝60度
　ＡＢ：ＡＣ＝３：２
　ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＢ＝７cm　⇒　三角形ＢＣＤは正三角形
　角ＡＢＤ＋角ＡＣＤ＝180度
です。この中で特殊なのが一番最後の条件です。
角ＡＢＤと角ＡＣＤは同じ面にはありません。その２つの角度の和が与えられている、ということは、この２つの角度をくっつける、ということになります。
そこで、三角形ＡＢＤと三角形ＡＣＤだけを取り出してみます。
ＢＤ＝ＣＤ、ＡＤ共通、角ＡＢＤ＋角ＡＣＤ＝180度より
下の図のように、２つの三角形はくっついて二等辺三角形を作ります。

このことから、三角すいＡ－ＢＣＤを２つ並べると下の図のようになります。

そうすると、もう一つ三角すいＡ―ＢＣＤをくっつけることができます。

出来上がった立体は大きな三角すいとなります。
まん中にある三角すいはどんな立体でしょうか？
辺の長さは、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝７cmとすべて等しく、正四面体であることがわかります。
そうすると、三角すいＡ－ＢＣＤと１辺７cmの正四面体は高さが等しいことになりますので、体積の比は底面積の比に等しくなります。
そこで底面積の比を求めるため、底面だけ取り出してみます。

三角形ＥＨＩ、ＦＩＪ、ＧＪＨの面積は、三角形ＥＦＧの面積の

三角形ＨＩＪの面積は、三角形ＥＦＧの面積の、

よって、三角形ＥＨＩ：三角形ＨＩＪ＝６：７となり、
三角すいＡ―ＢＣＤの体積は、１辺１cmの正四面体の体積の

となります。

答え　294倍

（問い２） 三角すいＡ－ＢＣＤの面のうち、三角形ＢＣＤの面積は１辺が１cmの正三角形の49倍であることはわかります。
また、（問い１）より、三角形ＡＢＣと三角形ＢＣＤの面積比は６：７になりますので、三角形ＡＢＣは42倍になります。

そうすると残りは三角形ＡＢＤと三角形ＡＣＤの面積の合計になりますが、これは（問い１）で組み合わせた大きな三角すいの側面の三角形の面積になります。
そこで、この面積が１辺１cmの正三角形の何倍になるのかを考えましょう。

そこで、大きな三角すいの展開図を作ります。

ＫとＩから辺ＥＧに下ろした垂線の交点をそれぞれＭ、Ｌとします。
三角形ＫＥＧは二等辺三角形なので、ＥＭ：ＭＧ＝１：１
ＥＨ：ＨＧ＝ＡＣ：ＡＢ＝２：３より、連比を作ると
ＥＨ：ＨＭ：ＭＧ＝４：１：５となります。
また、三角形ＥＬＩは角Ｅが60度の直角三角形なので、ＥＩ：ＥＬ＝２：１となります。したがって、ＥＬ：ＬＨ：ＨＭ：ＭＧ＝３：１：１：５となり、ＬＨ＝ＨＭだとわかります。

ＬＨ＝ＨＭ、ＫＨ＝ＨＩ＝７cm、角ＨＬＩ＝角ＨＭＫ＝直角より、三角形ＫＭＨと三角形ＬＨＩは合同になることがわかります。
したがって、ＫＭ＝ＬＩとなり、三角形ＫＥＧの面積（三角形ＡＢＤと三角形ＡＣＤの面積の和）は三角形ＥＧＩの面積と等しく、三角形ＥＨＩ（三角形ＡＢＣと同じ面積）の2.5倍になります。
よって、三角すいＡ－ＢＣＤの表面積は、１辺１cmの正三角形の面積の49＋42＋42×2.5＝49＋42＋105＝196倍です。

答え　196倍

難しい立体の問題も平面部分を考えて、展開図を使っていくことで正解にたどりつく解法は、開成・筑駒・灘といった最難関校にも通じます。ぜひ練習してみてください。
次回は問題５と問題６を解説いたします。